Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине (стр. 4 из 11)

Теорема 2

Если

-обратима, то существует только одна матрица обратная к

Доказательство:

Пусть дана матрица , которая обратима и пусть существуют матрицы обратные к т.е. . Имеем

Обозначение: Множество всех обратимых матриц порядка

над полем обозначается

Теорема 3

Справедливы утверждения:

1)

алгебра

2)

группа

Доказательство:

1) -это бинарная операция

а) Пусть

, так как -обратимые матрицы, проверим, что -это бинарная операция:

обратные к

Аналогично:

, обратимая матрица т.е -это бинарная операция

б)

, матрица обратима, поэтому -это унарная операция

в)

обратима т.е

2) Докажем второе утверждение, что

группа. Для этого проверим аксиомы групп:

1)

2)

3)

группа

Следствие:

Произведение обратимых матриц есть обратимая матрица

Если

обратима, то обратима

§2 Элементарные матрицы

Пусть

поле скаляров

Определение.Элементарной матрицей называется матрица, полученная из единичной матрицы

в результате одного из следующих элементарных преобразований:

Умножение строки (столбца)

на скаляр

Прибавление к какой либо строке (столбцу)

другой строки (столбца), умноженный на скаляр

Обозначение:

-элементарная матрица, полученная умножением на -строки (столбца) матрицы

-строка

-элементарная матрица, полученная прибавлением к -строке (столбцу) матрицы -строки (столбца), умноженной на

-строка

Пример: Элементарные матрицы порядка 2

, , , ,

Обозначение:

-элементарная матрица, полученная из единичной матрицы с помощью элементарного преобразования

Глава IV

§1 Определители

Определитель матрицы

обозначается . Другими словами определитель матрицы -это сумма произведений из множества умноженная на знак, соответствующей подстановки.

Пример

Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали вычесть произведение элементов на побоичной.

Для

Получили правило треугольника:

§2 Простейшие свойства определителей

Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали

-это треугольная матрица если элементы под главной диагональю равны нулю.

Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали. Матрица

диагональная если все элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю.

§3 Основные свойства определителей

поле скаляров,

1)

Доказательство:

, обозначим . Если «пробегает» все множество , то тоже «пробегает» все т.е.