Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине (стр. 3 из 11)

Доказательство:

. Пусть ,

, ,

5. Умножение матриц в общем случае не коммутативно. Рассмотрим это на примере:

, тогда

§3 Техника матричного умножения

поле скаляров, ,

Свойства:

Произведение

можно рассматривать, как результат умножения столбцов матрицы на слева и как результат умножения строк матрицы на справа.

Пусть

матрица , -линейная комбинация столбцов матрицы коэффициенты которой служат элементы матрицы

Пример

Пусть

-матрица , тогда -линейная комбинация строк матрицы коэффициенты которой служат элементы матрицы

Пример:

Столбцы матрицы

-линейная комбинация столбцов матрицы . Строки -линейная комбинация строк матрицы .

§4 Транспонирование произведения матриц

поле скаляров, , , ,

Теорема

если , то . Обозначим: ,

Доказательство:

1) Пусть ,

- размерности , - размерности , тогда и имеют одинаковую размерность

2)

, -элемента расположенный в -строке, -столбце матрицы т.е

, -произведение -строки транспонированной на столбец ,

Глава III

§1 Обратимые матрицы

поле скаляров, множество матриц порядка

Определение. Квадратная матрица

порядка называется единичной матрицей ,

Пусть

,

Теорема 1

, то для выполняется

Доказательство:

Из этого следует

. Матрица является единичной матрицей. Она выполняет роль единицы при умножении матриц.

Определение. Квадратная матрица

называется обратимой если существует так, что выполняются условия

Матрица

называется обратной к и обозначается , тогда если -это обратная к , то обратная к -это взаимообратные матрицы т.е.