Пример:

Опр. Пусть

,

,

. Произведение скаляра

на матрицу

называется

у которой в

строке,

столбце расположен элемент

. Другими словами: Чтобы скаляр

умножить на матрицу

нужно все элементы матрицы

умножить на скаляр

.
Определение. Противоположной к матрице

называется матрица

Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:

-абелева группа
1) Сложение матриц

ассоциативно и коммутативно.
2)

3)

а)

б)

4)

Глава II
§1 Умножение матриц

,

,

Опр. Произведением

матрицы

на

матрицу

называется

матрица

.

, где

, где

Говорят, что

есть скалярное произведение

-строки матрицы

на

-столбец матрицы

.

, где

Пример:

§2 Свойства умножения матриц
Умножение матриц ассоциативно:
1)

, если определены произведения матриц

и

Доказательство:
Пусть

, так как определено

, то

и определено

, то

Определим матрицы:
а)

б)

(1) матрицы, тогда

имеют одинаковую размерность
2) Покажем, что на одинаковых местах в матрицах

расположены одинаковые элементы

из равенства (1)

(2),

(3). Подставляя (3) в (2) получим:

, тогда

(4),

(5). Подставляя (5) в (4) получим:

Вывод: Матрицы

имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.
Умножение матриц дистрибутивно

:

Доказательство:

так как определено

, то

и определено

, то

размерности

размерности
Матрицы

имеют одинаковую размерность, покажем расположение одинаковых элементов:

,

,

Вывод: На одинаковых местах расположены одинаковые элементы.
3.

,

. Если определены

матрицы, то доказательство проводим аналогично свойству 2.
4.

,

:

, если определена матрица