Механические колебания в дифференциальных уравнениях (стр. 3 из 3)
Общее решение в этом случае
(12)Найдем
и подставим в выражения х и значение t=0; получим 
или 
Из последних двух равенств находим
, 
откуда
Перепишем общее решение так:
тогда искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, запишется в виде.
Выражение (12) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний
в этом случае может стать неограниченно большой даже тогда, когда q невелико. Иначе говоря, возможно получение сколь угодно больших амплитуд при малых возмущающих силах. Это явление называется резонансом. Таким образом, резонанс наступает тогда, когда частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний.Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не является необходимым. Выражение (9) для вынужденного колебания показывает, что при близости частот амплитуда
может быть очень большой, хотя и ограниченной при фиксированных частотах k и р. Возможностью создания колебаний с значительной амплитудой часто пользуются в различных усилителях, например в радиотехнике. С другой стороны, в большом числе случаев появление больших амплитуд является вредным, ибо может приводить к разрушению конструкций (скажем, мостов или перекрытий).Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды.
Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи с учетом сопротивления среды, пропорционального скорости движения.
Решение
Как и выше, имеем
или положив
, 
и 
(13)Однородным уравнением, соответствующим (13), является уравнение (3) с корнями характеристического уравнения (4). Предположим, что сопротивление среды невелико, т. е.
. При этом общее решение однородного уравнения имеет вид (5): 
где
. Это решение определяет свободные колебания, которые будут затухающими. Для отыскания вынужденных колебаний ищем частное решение в виде 
Имеем:
Сравнивая коэффициенты, получаем систему
Так как
то
и 
и мы находим частное решение
Преобразуем выражение
следующим образом:
.Обозначив
(14)перепишем
виде 
(15)Выражение
(16)носит название сдвига фазы. Общее решение, как и в предыдущей задаче, слагается из свободных колебаний [см. формулу (5)] и собственно вынужденных колебаний (15):
(17)Первое слагаемое, как было сказано выше, определяет затухающие колебания, которые, особенно при большом
, довольно скоро становятся мало ощутимыми. Что касается вынужденных колебаний (15), то их амплитуда (14) не зависит от времени и пропорциональна амплитуде Q периодического возмущения, так как . Она отличается от q множителем 
(18)характеризующим зависимость амплитуды вынужденного колебания от частоты возмущающей силы.
Определим максимум этой амплитуды. Для этого найдем производную функции (18)
Положив
, получим уравнение 
(случай р = 0 отбрасывается как невозможный), коренькоторого дает частоту внешних сил: 
при которой, как показывает проверка достаточных условий экстремума, амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной. Максимальное значение амплитуды равно
(19)Формула (19) показывает, что амплитуда колебаний тем больше, чем меньше п. При малых п частота р близка к частоте собственных колебаний k.
Решение (15) существует всегда, когда
В случае
получаем p=kи n= 0, и уравнение (13) превращается в уравнение (11). Здесь вновь наступает явление резонанса, при котором, как было рассмотрено выше, вынужденные колебания имеют вид (12).