
По признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е.

.
Где S – сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что

,

.
Но при этом

(ибо

и

), а

. Поэтому, в пределе имеем равенства (I – C)S = I и S(I – C) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I – C непрерывно обратим и S=(I – C)-1. Далее,

,

.
Переходя в этих неравенствах к пределу при

, получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.
Теперь рассмотрим более общий случай пространства L(X,Y). Пусть А Î L(X,Y) непрерывно обратим.
Теорема 9. Пусть A, B Î L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено неравенство

. Тогда B непрерывно обратим и справедливы оценки

,

.
§4. Абстрактные функции
Пусть S – некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.
Рассмотрим функцию x(

) с областью определения S и с областью значений в X. Такие функции принято называть абстрактными функциями числовой переменной или векторными функциями числовой переменной, поскольку элементы линейного (иначе – векторного) пространства мы называем также векторами. На абстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и факты математического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывности таких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитической абстрактной функции.
Пусть x(

) определена в окрестности точки

0, за исключением, быть может, самой точки

0. Элемент а Î X будем называть пределом функции x(

) при

→

0 и записывать

при

→

0,
если

при

→

0.
Степенные ряды – это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметра

.
Рассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида

, где xк Î X, а

– вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную

–

0 =

, то в дальнейшем мы полагаем

0 = 0 и рассматриваем степенные ряды вида

(1)
Конечная сумма

называется частичной суммой степенного ряда (1).
Пусть

– множество всех точек

, для которых ряд (1) сходится.

называется областью сходимости ряда (1).
Сумму ряда (1) при

Î

обозначим через S(

) (это абстрактная функция, определенная на

со значениями в X), при этом будем писать

, при

Î

.
Последнее равенство означает, что Sn(

) → S(

) при n→∞ для всех

Î

.
Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 Î

. Как и в случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.
Теорема 10 (Абель). Пусть

0 ≠ 0 и

0 Î

, тогда круг

содержится в

. Во всяком круге Sr(0), где r <

, ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно

.
Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге SR(0), R>0:

;
тогда равны все их коэффициенты:

(k=0, 1, 2, …)
Дифференцирование абстрактных функций
Пусть функция

числового переменного λ со значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ0.
По определению производной x’(λ0) функции x(λ) в точке λ0 называется предел

,
если этот предел существует (и конечен). Если

имеет производную в точке λ0, то она называется дифференцируемой в этой точке.
§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора
Абстрактную функцию x(

) будем называть аналитической при

=0, если она представима в некоторой окрестности точки

=0 сходящимся степенным рядом:

(1)
с ненулевым радиусом сходимости.
Теорема 12. Если x(

) – аналитическая абстрактная функция при

=0, то x(

) непрерывна в круге SR(0), где R – радиус сходимости степенного разложения (1).
Теорема 13. Если x(

) – аналитическая абстрактная функция при

=0, то x(

) дифференцируема в круге SR(0) сходимости своего степенного разложения.
Пусть x(

) бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида