Принятие решений в условиях неопределенности (стр. 4 из 7)

Q₄^’:

1/6 1/6 1/3 1/3

Q₁‘= 6/6 + 5/3 + 2/3 = 20/6

Q₂‘ = 6/6 + 2/6 + 8/3+ 22/3 = 68/6

Q₃‘ = 9/6 + 4/6 + 3/3 + 32/3 = 83/6

Q₄‘ = - 6/2 - 4/4 - 12/5 + 10/20 = -14/6

Наибольший доход при пробной операции будет получен при 3-ем решении. Теперь выясним, стоит ли производить пробную операцию, т.е. найдем разность между средним ожидаемым доходом от основной операции (см. Правило максимизации среднего ожидаемого дохода) и полученными в результате пробной операции данными, (83/6 - 7,7 = 184/30 = 92/15  6,13). В итоге можно сказать, что стоимость пробной операции в данном примере не должна превышать  6,13.

Для нахождения лучших операций иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (Q, r) дает одна число, по которому и определяют лучшую операцию.

Для анализа ситуаций можно применить взвешивающую формулу E(Q, r) = 4Q - r. Данная формула говорит, что доход ценится в четыре раза больше, чем риск, т.е. увеличение риска на 4 компенсируется увеличением дохода на единицу.

E₁ = 4*2.6 - 6.6 = 3.8

E₂ = 4*6.2 - 3 = 21.8

E₃ = 4*7.7 - 1.5 = 29.3

E₄ = 4*(-5.9) - 25.1 = -48.7

Согласно этой формуле лучшей операцией считается операция № 3, а худшей — операция № 4.

Часть I I. Анализ доходности и рискованностифинансовых операций.

19. ( 10, 1/4 ) ( 8, 1/4 ) ( 2, 1/3 ) ( 4, 1/6 )

20. ( -6, 1/4 ) ( -2, 1/4 ) ( 10, 1/3 ) ( -6, 1/6 )

21. ( 10, 1/3 ) ( 2, 1/3 ) ( 4, 1/6 ) ( 16, 1/6 )

22. ( -6, 1/3 ) ( 15, 1/3) ( -4, 1/6 ) ( 3, 1/6 )

Составим матрицу Q.

10 8 2 4

Q = -6 -2 10 -6

10 2 4 16

-6 15 -4 3

p_j= ( 1/4 1/4 1/3 1/6 )

Риск как среднее квадратическое отклонение.

Риск как среднее квадратическое отклонение — еще одно понимание риска. Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина Q. Как уже указывалось, средний ожидаемый доход — это математическое ожидание случайно величины Q. А вот среднее квадратическое отклонение _Q=

— это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Напомним, что D[Q] = M[(Q - m_Q)²].

Найдем риски в их новом определении r_iдоходов Q_i.

10 8 2 4

Q = -6 -2 10 -6

10 2 4 16

-6 15 -4 3

p_j= ( 1/4 1/4 1/3 1/6 )

10 8 24

Q₁:

1/4 1/4 1/3 1/6

-6 -2 10 -6

Q₂:

1/4 1/4 1/3 1/6

10 2 4 16

Q₃:

1/4 1/4 1/3 1/6

-6 15 -4 3

Q₄:

1/4 1/4 1/3 1/6

= 10/4+8/4+2/3+4/6 = 70/12 5.83

= -6/6-2/4+10/3-6/6 = 4/12 0.33

= 10/4+2/4+4/3+16/6 = 84/12 = 7

= -6/6+15/4-4/3+3/6 = 17/12  1.42

D₁= 2384/144  16.56 r₁4.07

D₂ = 443/9  49.22 r₂7.02

D₃ = 25 r₃ = 5

D₄ = 10091/144  70.08 r₄8.37

Нанесем средние ожидаемые доходы и риски на плоскость — доход

откладываем по вертикали, а риски — по горизонтали.

Получили четыре точки. Чем выше точка (q, r), тем более доходная операция, чем точка правее — тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку левее и выше. Точка (q’, r’) доминирует точку (q, r), если q’q и r’r. В данном примере точка Q₃ доминирует точки Q₂ и Q₄, точка Q₁доминирует точки Q₂ и Q₄. Точки Q₁и Q₃ несравнимы — доходность 3-ей больше, но и риск ее тоже больше. Точка, не доминируемая никакой другой, называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбрать лучшую, то ее обязательно надо выбирать из операций, оптимальный по Парето.

Предположим, что все операции независимы друг от друга, тогда можно выяснить, нет операции, являющейся линейной комбинацией основных операций, более хорошей, чем имеющиеся.

Теперь найдем

, при которой риск будет минимальным. Т.к.

стремится к минимуму, то

также стремиться к минимуму.

График данной функции представляет собой параболу, ветви направлены вверх, значит, минимальное значение данной функции будет в точке перегиба — операция, являющаяся линейной комбинацией основных операций, будет иметь минимальный риск при

. Этот риск будет равен 3.38, а доход соответственно 6,08.Полученная точка Q’(6.08, 3.38) доминирует точку Q₁(5.83,4.07).

Для нахождения лучших операций иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (q, r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию.

Для анализа ситуаций применим взвешивающую формулу E(Q, r) = 4Q - r. Данная формула говорит, что доход ценится в четыре раза больше, чем риск, т.е. увеличение риска на 4 компенсируется увеличением дохода на единицу.

Тогда для 1-ой операции Е = 19.25, для 3-ей операции Е = 23. При сравнении результатов анализа видно, что при данном отношении к рискованности операций лучшей является 3-я операция.

Часть III. Анализ денежных потоков.

Анализ одномерных денежных потоков.

Исходные данные: ежедневные суммарные зачисления по счетам юридических лиц за апрель месяц.

число месяца	день недели		сумма (тыс. руб)
1	ср		47
2	чт		44
3	пт		31
4	сб		28
5	вс
6	пн		42
7	вт		48
8	ср		39
9	чт		40
10	пт		38
11	сб		15
12	вс
13	пн		45
14	вт		53
15	ср		41
16	чт		27
17	пт		56
18	сб		25
19	вс
20	пн		51
21	вт		32
22	ср		49
23	чт		21
24	пт		35
25	сб		13
26	вс
27	пн		58
28	вт		59
29	ср		29
30	чт		30
числовой ряд (х_i)		частота (m_i)		частость ( =m_i/n)	выборочная функция распределения
13		1		0,04	0,04
15		1		0,04	0,08
21		1		0,04	0,12
25		1		0,04	0,15
27		1		0,04	0,19
28		1		0,04	0,23
29		1		0,04	0,27
30		1		0,04	0,31
31		1		0,04	0,35
32		1		0,04	0,38
35		1		0,04	0,42
38		1		0,04	0,46
39		1		0,04	0,50
40		1		0,04	0,54
41		1		0,04	0,58
42		1		0,04	0,62
44		1		0,04	0,65
45		1		0,04	0,69
47		1		0,04	0,73
48		1		0,04	0,77
49		1		0,04	0,81
51		1		0,04	0,85
53		1		0,04	0,88
56		1		0,04	0,92
58		1		0,04	0,96
59		1		0,04	1,00

График выборочной функции распределения