Элементарные конфортные отображения (стр. 1 из 2)

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек

и . Если задан закон , ставящий в соответствие каждому точку (или точки) , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменнойсо значениями в множестве . Обозначают это следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)

Задание функции

эквивалентно заданию двух действительных функций и тогда , где , . Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.

1.

- линейная функция. Определена при всех . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость . Функция и обратная ей - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает (сжимает) ее в раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину . Непрерывна на всей комплексной плоскости.

2.

. Определена на всей комплексной плоскости, причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.

3.

- показательная функция. По определению

, т.е. , , . Из определения вытекают формулы Эйлера:

; ; ;

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.

периодична с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную оси , шириной в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие: ,

4.

- логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению:

. Выражение называется главным значением , так что . Определен для всех комплексных чисел, кроме . - бесконечно-значная функция, обратная к . ,

5.

- общая показательная функция. По определению, . Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна.

6. Тригонометрические функции

; ; ; По определению, ; ;

;

7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:

,

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел:

, , , ,

Решение. По определению,

, , ; если , то очевидно, , ,

, ,

, , ,