Прямая Эйлера (стр. 2 из 2)

Теорема 5. Четыре высоты ортоцентрического тетраэдра ABCD пересекается в одной точке H, причем если O – центр сферы, описанной около тетраэдра, то

OH = ---(OA + OB + OC + OD). (5)

Доказательство. Пусть ABCD – ортоцентрический тетраэдр, DG’ – его медиана, DH’ – его высота (рис.8). Тогда G’ центроид, а H’- ортоцентр треугольника ABC, причем точки O’(центр окружности, описанной около треугольника ABC), G’ и H’ лежат на одной прямой. Заметим, что центр O сферы, описанной около тетраэдра ABCD, лежит на перпендикуляре к плоскости треугольника ABC, восстановленном в точке O’.

Будем доказывать теорему тем же способом, что и теорему 2 для треугольника: строить разными способами точку H, удовлетворяющую соотношению (5).

Вначале сложим векторы OA, OB и OC:

OM = OA + OB + OC.

По теореме 1

OG’ = -- (OA + OB + OC),

поэтому

OM = 3OG’

-7-

или G’M = 2OG’. Точки O’,G’,H’,лежат на прямой Эйлера треугольника ABC, причем H’G’ = 2G’O’. Следовательно,

H’M=H’G’+G’M’=2(G’O’+OG’)=2(OG’+G’O’)=2OO’.

Отсюда вытекает, что прямые H’M и OO’ параллельны, а так как прямая OO’ перпендикулярна к плоскости ABC, то и прямая H’M перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, точка M’ лежит на прямой DH’ (если точки O и O’ совпадают, то точки M и H’ тоже совпадают).

Пусть теперь

OH= --- (OM+OD)= ---(OA+OB+OC+OD).

Из левого равенства следует, что точка H является серединой отрезка DM, т.е. точка H лежит на DH’ тетраэдра.

Аналогично строится точка N: ON=OA+OB+OD и та же точка H: OH= --(ON+OC) и доказывается, что точка H лежит на высоте тетраэдра, проведенной из вершины C, и т.д.

Следовательно, высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке H, определяемой соотношением (5).

Прямая Эйлера тетраэдра.

Теорема 6. Центр О описанной сферы, центроид G и ортоцентр Н ортоцентрического тетраэдра ABCD лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.

Доказательство. По формулам (4) и (5)

OH= -- (OA + OB + OC +OD),

OG= -- (OA + OB + OC + OD),

откуда OH=2OG. Полученное равенство означает, что точки O, G, H лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.

Прямую, на которой лежат точки O, G, H, можно назвать прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра.

В данном реферате собран материал необходимый для выявления прямой Эйлера и прямой Эйлера тетраэдра.

Использованные источники информации:

^1. “Прямая Эйлера” (Э. Готман).

2. Международная информационная сеть Internet (URL: http://www.referat.ru;http://dlc.miem.edu.ru/referat).

-9-