Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции (стр. 3 из 6)
, если 
 |
График функции 
 | ||||
| 1 |
 |
, если 
, если 5. Аналогичноустановим, что при
имеем: 
, если же , то 
Таким образом:
, если (5) 
, если 6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
при 
имеем: 
Если же х<0, то
Итак,
, если (6) 
, если
7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если
, то 
При
имеем: 
Итак,
, если (7) 
, если 8. Выражение арктангенса через арккотангенс.
, если х>0(8) 
,если x<0При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то
.9. Выражение арксинуса через арккотангенс.
, если (9) 
, если 10. Выражение арккотангенса через арксинус.
, если 0<x(10) 
, если х<011. Выражение арккотангенса через арктангенс.
, если x>0 (11) 
, если x<0Примеры:
Пример №1. Исследовать функцию
Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:
y= 0 , если x>0
На чертеже изображен график  |
Пример №2. Исследовать функцию
Решение: Первое слагаемое определено для значений
, второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).Т.к.
, то получаем 
,откуда:
на сегменте [0;1]Пример №3. Исследовать функцию
Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).
Приняв во внимание равенство
, если 
, если 
получим:
y = 0 , если 
, если Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.
При преобразовании выражений вида
следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:
Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;
и 