Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).
Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.
Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).
Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга
имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно 
Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:
А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:
Так, например:
Аналогично:
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).
1. Выражение
через арктангенс.Пусть
, тогда 
Дуга
, по определению арктангенса, имеет тангенс, равный 
и расположена в интервале (-π/2; π/2).Дуга
имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).Следовательно,
(1)(в интервале ( -1 : 1 )
2. Выражение
через арксинус.Т.к.
, то 
(2)в интервале
3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства
следует тождество 
(3)Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,
Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.
Так, например, дуга
не может быть значением арксинуса. В этом случае 
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.
4. Выражение арксинуса через арккосинус.
Пусть
, если 
, то 
. Дуга имеет косинус, равный 
, а поэтому 
При
это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае 
, а для функции 
имеем: 
так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень
, т.е. число неотрицательное.Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
Х>0 X<0
При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и
Таким образом, имеем окончательно:
если , (4)
, имеем: 
, и 
, получим: 
, 
, 
принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.
