Теорема Штольца (стр. 1 из 2)

Содержание работы:

1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

2. Применение теоремы Штольца:

;

b) нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты

;

3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.

4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений

типа

часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта

, причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и

возрастает:

. Тогда

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу

Тогда по любому заданному

найдется такой номер N, что для n>N будет

или

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби

, …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания y_n вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь

, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

Напишем теперь тождество:

откуда

Второе слагаемое справа при n>N становится <

; первое же слагаемое, ввиду того, что

, также будет <

, скажем, для n>N^’. Если при этом взять N^’>N, то для n>N^’, очевидно,

, что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

1. Пусть, например,

. Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n)

, следовательно, вместе с y_nи x_n, причем варианта x_nвозрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что

, что и требовалось доказать.

2. При а>1

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта a_n

имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты а_n).

Действительно, полагая в теореме Штольца

X_n=a₁+a₂+…+a_n,y_n=n,

Имеем:

Например, если мы знаем, что

то и

4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

которая представляет неопределённость вида

Полагая в теореме Штольца

x_n=1^k+2^k+…+n^k, yⁿ=n^k+1,

будем иметь

Но

(n-1)^k+1=n^k+1-(k+1)n^k+… ,

так что

n^k+1-(n-1)^k+1=(k+1)n^k+…

5. Определим предел варианты

представляющей в первой форме неопределенность вида

, а во второй – вида

. Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида

Полагая x_n равным числителю этой дроби, а y_n – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

Но

так что, окончательно,

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.