Теорема Штольца (стр. 2 из 2)
Теорема.
Пусть функция
, причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т.е. функция возрастающая.Тогда
,если только существует предел справа конечный или бесконечный.
Доказательство:
Допустим, что этот предел равен конечному числу k
.Тогда, по определению предела
или
.Значит, какой бы
ни взять, все дроби 
, 
, …, 
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь
, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при 
.Напишем тождество(которое легко проверить):
,Откуда
.Второе слагаемое справа при
становится 
; первое же слагаемое, ввиду того, что 
, так же будет , скажем, для 
. Если при этом взять 
, то для , очевидно 
, что и доказывает теорему.Примеры:
Найти следующие пределы:
1.
очевидна неопределенность 
= 
= 
=22.
неопределенность = 
= 
= 
=03.
неопределенность = 
= 
= 
Литература:
1. “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.
2. Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.