Элементы теории множеств (стр. 5 из 5)

Но ведь такого числа не существует. Именно так: все “логические парадоксы” (не путать с “лингвистическими” или “семантическими” парадоксами, типа парадокса лжеца) построены по следующей схеме: предположим, что существует некоторый объект X. Тогда этот объект X одновременно обладает и не обладает некоторым свойством. Но это в точности и значит, что требуемого объекта X не существует, именно так устроены доказательства от противного, например, доказательство иррациональности числа

или бесконечности множества простых чисел. Единственная разница состоит в том, что в парадоксе Пиглета противоречивость условия очевидна сразу, а в парадоксе Рассела условие не кажется противоречивым - хотя и является таковым. Таким образом, парадокс Рассела всего лишь доказывает (от противного), что не существует множества Y = {X | XÏX} всех множеств, не являющихся собственными элементами, и, тем самым, не для любого свойства Р обязано существовать множество {х | Р(х)}. Но никто из серьезных математиков никогда и не утверждал, что любое свойство должно определять множество.

Парадокс бесконечности. Построим бесконечное множество следующим образом: на каждом шаге в множество будем добавлять два элемента из натурального ряда, и после этого убирать первый в порядке следования. Получим следующую схему:

{1, 2}; {2}; {2, 3, 4}; {3, 4}; {3, 4, 5, 6}; {4, 5, 6}…

Возникает вопрос: сколько элементов будет в этом бесконечном множестве? Количество элементов возрастает. Но на первом шаге мы убрали из множества первый элемент, на втором шаге – второй и так далее. Если рассматривать каждый конкретно взятый элемент, то окажется, что его нет во множестве (ведь nÞ¥).

На самом деле парадокса тут никакого нет. Все дело в том, что бесконечные множества устроены существенно сложнее конечных, и интуиция тут не всегда срабатывает правильно.

Столкнувшись с этими парадоксами, создатели теории множеств осознали, что нельзя задавать множества произвольными словосочетаниями. После этого они стали бороться с парадоксами двумя способами.

Первый способ – способ Кантора, придумавшего теорию множеств, в которой запрещаются все действия и операции, ведущие к парадоксам. Идея в следующем: разрешается работать с множествами, которые “встречаются в природе”, также разрешается работать с множествами, которые получаются из них разумными теоретико-множественными операциями.

Другой способ – аксиоматический (система аксиом Цермело–Френкеля, система аксиом Геделя–Бернайса).

Заключение

Данная курсовая работа рассматривает основные элементы теории множеств: исходные понятия теории множеств, основные теоретико-множественные отношения, аксиоматику теории множеств. Теоремы и следствия из них имеют содержательное доказательство, сложные в понимании понятия рассмотрены в соответствии с наглядными примерами, что облегчает понимание материала.

Разработанное в Power Point приложение содержит набор слайдов, что позволяет расширить область применения: в частности, организация презентаций для студентов.

Электронный учебник дает возможность самостоятельного изучения материала.

На данный момент непротиворечивость теории множеств не установлена, что открывает дальнейшие перспективы в развитии этой концепции.

Список литературы

Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. Элементы теории множеств. Линейные уравнения и неравенства. Матрицы и определители. -М.: Просвещение, 1974,- 160 с.

Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И. Алгебра и теория чисел. Часть I - Киев: Вища школа, 1977. - 398 с.

Куликов Л.А. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979. - 560 с.

Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. – М.: Мир, 1970.

Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - М.: Наука, 1975. - 240 с.

Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Часть I. - М.: Просвещение, 1974. -383 с.

Оре, Остин. Приглашение в теорию чисел. - М.: Наука, 1980. - 127 с.

Прахар К. Распределение простых чисел. - М.: Мир, 1967. - 511 с.

Солодовников А.С. Системы линейных неравенств. - М: Наука, 1978.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984. -416 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ