Элементы теории множеств (стр. 2 из 5)

Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

А=В - x | xA - xB.

Равенство множеств А и В записывают в виде А=В.

Чтобы доказать равенство двух множеств, необходимо доказать, что:

x | xA Þ xB;

x | x B Þ x A.

Пример.

Равенство всех пустых множеств (A=, B= Þ A=B).

А – множество корней уравнения (x-1)(x-2)=0. B – множество, состоящее из элементов 1 и 2: B={1,2}. A=B.

Глава 2. Основные теоретико-множественные отношения

2.1. Подмножества

Определение подмножества. Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент, принадлежащий множеству А, принадлежит множеству В.

Формальная запись: A B - x | xA  xB.

Если A является подмножеством B, то B называется надмножеством A.

Если среди данных множеств одно из них является подмножеством другого, это обозначает, что они связаны отношением включения.

Отношение нестрогого включения обозначается “”.

Отношение строгого включения обозначается “”.

AB обозначает, что множество A содержится в B, при чем А может быть равным множеству B. Строгое включение исключает такое равенство.

Если AB, A , то A – собственное подмножество множества В.

Свойства отношения включения.

A выполняется AA (рефлексивность).

A, B выполняется AB  BA Þ A=B (антисимметричность).

A, B, C выполняется AB  BC Þ AC (транзитивность).

Пример.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество {2, 4, 6, ... , 2n, ...} является собственным подмножеством множества натуральных чисел {1, 2, 3, 4…}.

2.2. Операции над множествами и их свойства

Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение и разность.

Определение объединения множеств. Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В. AB={x | xA V xB}.

Пример.

A={1, 3, 5}, B={2, 4, 6}. AB={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Определение пересечения множеств. Произведением, или пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно. AB = {x | xA  xB}.

Если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов, то из определения пересечения следует, что характеристическое свойство множества АВ составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза “и”.

Пример.

A={1, 3, 5}, B={1, 3, 7, 9}. AB={1, 3}.

Определение разности множеств. Разностью между множеством A и множеством B называется множество всех элементов из A, не являющихся элементами множества B. A\B = {x | xA  xB}.

Если множества А и В заданы характеристическими свойствами их элементов, то из определения объединения следует, что характеристическое свойство элементов множества А U В составляется из характеристических свойств элементов множеств А и В с помощью союза “или”.

Пример.

A={1, 3, 5, 18}, B={1, 3, 7, 9}. A\B={5, 18}.

Определение симметрической разности множеств. Симметрической разностью множеств A и B называется множество всех элементов из A, не являющихся элементами множества B в объединении с множеством всех элементов из B, не являющихся элементами множества A. A∆B=(A\B)(B\A).

Пример.

A={1, 3, 5, 18}, B={1, 3, 7, 12}. A∆B={5, 7, 12, 18}.

Определение абсолютного дополнения. Пусть A – подмножество U. Абсолютным дополнением множества A до множества U называется множество, содержащее все элементы множества U, которые не принадлежат множеству A. A'=

=U\A, где U - универсальное множество. =U\A={x | xU  xA}.

Обычно все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U, которое называют универсальным. Например, для числовых множеств универсальным является R, для точечных множеств на плоскости - множество точек всей плоскости и т.д.

Приоритеты операций.

Под приоритетом операции понимается порядок ее выполнения. Первой выполняется та операция, приоритет которой выше.

Приоритет операции пересечения множеств выше приоритета операции объединения.

Приоритет операции пересечения множеств выше приоритета операции вычитания.

Объединение и вычитание множеств считают равноправными операциями.

Пример. В выражении CА\В надо сначала выполнить вычитание (из А вычесть В), а затем полученное множество объединить с множеством С.

Свойства операций над множествами.

1. A, AA=A. AA=A (идемпотентность).

2. Пересечение и объединение множеств коммутативно (перестановочно):

A ,B AB = BA; A ,B AB = BA.

Доказательство.

Эти свойства вытекают из определения. Действительно, пусть xAB, тогда xA и xB, следовательно, xBA. Отсюда (AB)(BA). Аналогично доказывается обратное утверждение (BA)(AB). Отсюда AB = BA.

Пусть xAB, тогда либо xA, либо xB, но тогда xBA и (AB)  (BA). Аналогично (BA)  (AB). Следовательно, AB = BA.

3. Пересечение и объединение множеств ассоциативно: для любых множеств A, B и C имеем (AB)C=A(BC); (AB)C=A(BC).

Доказательство.

Пусть x(AB)C, отсюда x(AB) и xC, или xA, xB, xC. Отсюда x(BC) и xA, следовательно, xA(BC) и верно (AB)CA(BC). Наоборот, если xA(BC), следует, что xA, xC, xB, откуда x(AB)C и верно A(BC)(AB)C. Отсюда A(BC) = (AB)C. Аналогично доказывается равенство множеств A(BC) = (AB)C.

4. Для любых множеств A, B справедливо: если AB, то AB = A; AB = B.

Доказательство.

Пусть xAB, то есть xA и xB, отсюда xA. Пусть теперь xA. Из условия AB следует, что xB, отсюда xAB. Следовательно, AB = A.

Пусть xA B, тогда xA или xB. Но AB, и, следовательно, xB, ABB. Если xB, то по определению xAB и верно включение BAB. Отсюда AB = B.

5. Для любых множеств A, B и C справедливы равенства (свойство дистрибутивности):

a) A(BC) = (AB) (AC);

б) A(BC) = (AB) (AC).

Доказательство.

а) Пусть xA(BC). Тогда xA и x(BC) → xA, xB или xC → xAB или xAC → x (AB)(AC) → A(BC) (AB)(AC). Пусть x (AB)(AC). Тогда x(AB) или x(AС)→(xA, xB) или (xA, xC) → xA и xB или xC→xA(BC) и отсюда (AB)(AC) A(BC). Окончательно имеем A(BC) = (AB)(AC).

б) Пусть xA (BC). Тогда xA или x (BC) → xA или (xB и xC) → (xA или xB) и (xA или xC) → x (AB) (AC) → A (BC) (AB) (AC). Обратно, пусть x (AB) (AC). Тогда x (AB) и x (AC) → (xA или xB) и (xA или xC) → или xA или (xB и xC) → xA (BC), то есть (AB) (AC)A (BC). Следовательно, A (BC) = (AB) (AC).

6.

; (законы де Моргана).

7. Свойства универсального и пустого множества: A справедливо

AU=U;

A=A;

AU=A;

A=;

;

;

A\=A;

8. Свойства абсолютного дополнения: A справедливо

A=U;

;

A=.

9. Частные свойства разности множеств:

Если AB=, то А\В=А;

Если AB, то А\В=;

А\В = А\(АВ);

A\A =;

A\ =A.

2.3. Диаграммы Эйлера-Венна

Операции множеств и связанные с ними соотношения представляются наглядно с помощью диаграмм Эйлера-Венна (названных по имени русского математика Леонарда Эйлера (1707-1783гг.) и английского логика Джона Венна (1834-1923гг.). На этих диаграммах любые множества изображаются кругами, пересекающими друг друга, исходя из того, что внутренними точками круга изображаются элементы множества. Общей частью двух кругов, пересекающих друг друга, представляются возможные общие элементы двух множеств. Универсальное множество изображается в виде прямоугольника. Единичный элемент множества – точкой в круге.

Объединение множеств C=АВ (зеленое выделение):

Рис. 1

Пересечение множеств C=АВ (черное выделение):

Рис. 2

Множество В является подмножеством множества А:

Рис. 3

Разность A\B (зеленое выделение):

Рис. 4

Дополнение ко множеству А (синее выделение):

Рис. 5

Симметрическая разность множеств А∆B (зеленое выделение):