Аппроксимация непрерывных функций многочленами (стр. 7 из 7)
-2
f(x)=x, 
-
0 2 Х 
; S(x)- сумма ряда, 
Замечание 4: Тригонометрическим рядом на всей числовой прямой можно представить только периодическую функцию.
Пример:
f(x)- ограничена, непрерывна, монотонна
а).
б).
3. 
Приближение функций тригонометрическими многочленами.
Тригонометрическими многочленами n-го порядка называют функцию вида:
или короче: 
.Рассмотрим сумму первых n членов ряда Фурье:
.Эта сумма является тригонометрическим многочленом n-го порядка, начальный член которого представлен в виде a0/2. В качестве приближения функции f(x) с периодом 2
тригонометрическим многочленом берут указанную сумму Sn(x), т.е. 
.Естественно, при этом возникает вопрос об ошибке приближения. Если функция с периодом 2
имеет при всех х производную f®(x) порядка r, удовлетворяющая неравенству 
, то можно доказать, что ошибка приближения выражается следующим неравенством: 
, где Cr- постоянная, зависящая только от r. Отсюда видно, что ошибка стремится к нулю при n стремящемуся к бесконечности. Причём тем быстрее, чем больше производных имеет функция.Для аналитических функций оценка будет ещё лучше. Аналитической в области определения называют функцию, которая разлагается в сходящейся к ней степенной ряд в области определения. Для функция, аналитических на всей действительной оси, оценка приближения выражается неравенством:
.С и g- положительные постоянные, связанные с f(x), q<1.И обратно, если для функции f(x) выполняется это неравенство, то она является аналитической. Можно утверждать: если функция разлагается в сходящийся к ней ряд Фурье, то отсюда ещё не следует, что она аналитическая. Однако f(x) будет аналитической, если уклонение от суммы первых n членов её ряда Фурье имеет оценку, т.е. убывает быстрее члена убывающей геометрической прогрессии.
Чтобы обеспечить приближение произвольных непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами, пользуются так называемыми методами суммирования рядов Фурье. В качестве тригонометрических многочленов, приближающих функцию, вместо сумм Фурье рассматривают некоторые их видоизменения. Один из таких методов состоит в следующем: для непрерывной периодической функции находят её ряд Фурье, который может быть и не сходящимся, а затем составляется среднее арифметическое первых частичных сумм этого ряда:
, где .Среднее арифметическое
называют суммой Фейера n-го порядка, соответствующей данной функции f(x). Название этих сумм дано в честь венгерского математика Липота Фейера (1880-1959), который первым предложил указанный метод. Он доказал, что 
, если f(x)- непрерывная функция.Заключение.
Теорией приближения функций многочленами занимались такие математики, как Эйлер, Лаплас, Фурье, Понселе, и, наконец, Чебышев.
У Чебышева, который приступил к задаче о наилучшем устройстве параллелограмма Уатта, возникли математические вопросы, о которых в то время знали очень мало. Для решения он разработал метод, названный французским математиком Жозефом Бертраном (1822-1900) чудом анализа. Этот метод сохранил своё значение и после того, как паровые машины, а вместе с ними и параллелограмм Уатта, отошли на задний план. Созданная Чебышевым теория приближения функций интенсивно развивалась и развивается сейчас в трудах российских и иностранных учёных. В терминах этой теории отражена одна из фундаментальных идей математики- приближение (замена) сложных объектов более простыми и удобными. Эта идея является основной в вопросах взаимосвязей математики и практики, что стимулировало развитие теории приближения функций в прошлом и, надо полагать, обеспечит к ней интерес в будущем.
Вообще теория аппроксимации непрерывных функций многочленами играет очень большую роль в математики, так же в решении технических проблем. Этот вопрос ещё до конца не исчерпан и новые открытия ждут своего часа.
Литература
1. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, М., “Наука”, 1971.
2. Постников М.М., Аналитическая геометрия, М., “Наука”, 1973.
3. Розенфельд Б.А., Многомерные пространства, М., “Наука”, 1966.
4. Розенфельд Б.А., Неевклидовы пространства, М., “Наука”, 1969.
5. Сазанов А.А., Четырехмерный мир Минковского, М., “Наука”, 1988.
6. Яглом И.М., Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия, М., “Наука”, 1969.