Аппроксимация непрерывных функций многочленами (стр. 5 из 7)
Применяя правила дифференцирования алгебраической суммы и произведения двух функций, находим производную функции F(t) по аргументу t.(x и а- фиксированные, следовательно, f(x)- постоянная). 
Приведя подобные слагаемые, получим: 
Из формулы функции F(t) видно, что F(x)=0 и F(a)=0. Воспользуемся свойством дифференцируемой функции:
Если дифференцируемая функция f(x) обращается в нуль при х=а и х=b, f(a)=0, f(b)=0, (a
b), то между точками а и b найдётся по крайней мере одна т.с, в которой равна нулю производная данной функции: f’(c )=0. (т. Ролля).Геометрически это означает, если в т. а и b f(a)=0 и f(b)=0, то
такое, что в т. С(с,f(c )) касательная к графику y=f(x) параллельна оси ОХ. 
y  |
f©
0 a c b X
Корнем или нулём функции называют такое значение аргумента х0 , при котором функция f(x0)=0.
С учётом этого понятия указанное свойство можно сформулировать так: между двумя различными корнями дифференцируемой функции находится хотя бы один корень её производной (т. Ролля).
Поскольку F(x)=0 и F(a)=0, то к функции F(t) можно применить свойство:
Так как с заключено между а и х, то его можно представить в виде
Говорят, что это равенство выражает остаточный член формулы в форме Лагранжа. Подставим его в формулу:
Эту формулу называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Если а=0, то
Формула Тейлора для функций sinx, cosx, ex
Выведем формулы Тейлора для элементарных функций f(x)=sinx, f(x)=cosx, f(x)=ex.
Рассмотрим функцию f(x)=sinx. Найдём производную n+1- го порядка.
Вычислим значение функции и её производной при х=0. 
Подставим эти значения в формулу Тейлора: 
2.Аналогично находим формулу Тейлора для f(x)=cosx.
3.Рассмотрим функцию f(x)=ex.
, 
... 
, 
... 
, 
4.Рассмотрим функцию f(x)=(a+x)n ,
Эту формулу называют биномом Ньютона. Отметим частные случаи:
n=2 (a+x)2=a2+2ax+x2
n=3 (a+x)3=a3+3a2x+3ax2+x3
Приближение функций sinx, cosx, ex алгебраическими многочленами.
В формуле Тейлора для sinx положим n=2m-1
Остаточный член этой формулы имеет вид:
Оценим его модуль. Поскольку
Отбрасывая остаточный член, получим приближённо: 
. Она может быть применена для вычисления значений функции f(x)=sinx при заданных значениях аргумента х. Эти вычисления сводятся к вычислениям значений алгебраического многочлена степени 2m-1 
. Следовательно, вместо функции f(x)=sinx можно рассматривать алгебраический многочлен, который приближённо заменяет её. Говорят, что указанный многочлен приближает данную функцию. Оценка такого приближения определяется формулой: 
Полагая n=2m в формуле для cosx, аналогично:
, погрешность 
.Например, для приближённой формулы
В случае функции f(x)=ex, получаем:
В общем случае, отбросив остаточный член, получим приближённую формулу:
. Она позволяет заменить данную функцию алгебраическим многочленом n-й степени: 
Ряд Тейлора.
Обратимся к формуле (1). Разность между функцией f(x) и её многочленом в правой части называют отклонением, которое выражается остаточным членом rn(x).Если в формуле рассматривать всё больше и больше членов, то может оказаться, что отклонение стремится к нулю, но не для всякой функции и не для любого значения х. Однако существует широкий класс функций, для которых остаточный член действительно стремится к нулю при
, по крайней мере для значений, заполняющих некоторый промежуток, содержащий т.а. Именно для таких функций формула Тейлора позволяет вычислить f(x) с любой степенью точности. Если 
, то из формулы Тейлора следует: 
Число слагаемых является неограниченным. Выражение в правой части формулы называют рядом Тейлора, а функцию f(x)- суммой этого ряда.
Ряд Тейлора можно записать в таком виде:
, при а=0 
Выражение в правой части этой формулы называют рядом Маклорена. Получаем: 
Условие сходимости:
Для разложения f(x) в степенной ряд (т.е. в ряд Тейлора), необходимо и достаточно, чтобы предел остаточного члена формулы Тейлора был равен нулю:
Степенной ряд сходится при любых х или говорят, что его областью сходимости является промежуток
. Из этих формул видно, что sin(-x)=-sinx, т.е. f(x)=sinx- нечётная функция.cos(-x)=cosx, f(x)=cosx- чётная функция.
Примеры разложения функций в степенные ряды.
Степенной ряд
можно рассматривать как геометрический с первым членом а=1 и знаменателем q=x. Если 
, т.е. 
, то данный ряд сходится. 
.Мы получили разложение функции
в степенной ряд. Этот ряд сходится при .