Аппроксимация непрерывных функций многочленами (стр. 3 из 7)
(1); 
; 
, из которых последите два получаются дифференцированием по р соотношения: 
. Из написанных тождеств вытекает, что 
(2).Умножая (1) на f(x) и отнимая Bn(x), получим, что
, где суммирование в 
распространено на те значения к, для которых 
, а суммирование в 
- на остальные значения к.Так как f(x) непрерывна в замкнутом интервале [0,1], и, значит, ограничена:
во всём этом интервале, то 
А это выражение на основании (2):
, с другой стороны, 
, где 
, и, значит, 
при 
.Окончательно:
, что и доказывает теорему Вейерштрасса.Заметим, что если Pn(x) равномерно стремится к f(x) при
, то f(x) разлагается в равномерно сходящийся ряд. 
Поэтому т. Вейерштрасса состоит так же в том, что всякая непрерывная в конечном интервале [a,b] функция f(x) может быть разложена в равномерно сходящийся при
ряд, члены которого- полиномы.1.4. Вторая теорема Вейерштрасса.
Она относится к периодическим непрерывным функциям:
Если F(t)- непрерывная функция с периодом 2
, то каково бы ни было число 
, существует тригонометрическая сумма 
, n=n( 
), которая для всех t удовлетворяет неравенству: 
.II. Круг идей П.Л. Чебышева.
Пусть даны замкнутый (конечный или бесконечный) интервал [a,b] числовой оси и две вещественные непрерывные в [a,b] функции f(x) и S(x). Составим выражение:
(*), где m и n заданы и поставим задачу найти вещественные параметры p0,p1...pm; q0,q1...qnтак, чтобы уклонение 
Q(x) от f(x) было наименьшим.В частном случае, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен, поставленная задача переходит в задачу о наилучшем приближении в пространстве С заданной функции с помощью многочлена степени n.
Будем полагать, что m=n-k, кроме того, если интервалом [a,b] является вся числовая ось, мы будем предполагать, что
и будем рассматривать только те функции, для которых 
, m условимся считать чётным.2.1 Обобщённая теорема Валле-Пуссена.
Если многочлены
; 
, где 
и 
, 
, не имеют общего делителя , а выражение 
в интервале [a,b] остаётся конечным и если разность f(x)-R(x) принимает в последовательных точках x1<x2<...<xnинтервала [a,b], отличные от значения 
с чередующимися знаками, N=m+n-d+2, 
, то для каждой функции имеет место неравенство: 
, где . Это же неравенство имеет место, если R(x)=0 и N=n+2.Значение этой теоремы состоит в том, что она даёт возможность получить для погрешности наилучшего приближения некоторую оценку снизу.
Теорема существования.
Среди функций Q(x) существует по крайней мере одна, для которой HQимеет наименьшее значение.
Т.о., пусть Н
- есть нижняя грань множества всех HQ. По определению, следовательно, существует бесконечная последовательность функций Qi(x), для которой 
.2.2. Теорема Чебышева.
Функция Р(х), которая из всех функций вида Q(x) наименее уклоняется в [a,b] от функции f(x), единственна.
Эта функция вполне характеризуется таким своим свойством, если она приведена к виду
, и , и дробь 
несократима, то число N последовательных точек интервала [a,b], в котором разность f(x)-P(x) принимает с чередующимися знаками значение Нр, не менее, чем m+n-d+2, где d= 
, а если P(x)=0, то 
.Теорема Чебышева показывает, что существует единственная функция P(x), дающая наилучшее приближение к данной функции f(x) (т.е. наименее отклоняется от f(x)) в данном нормированном пространстве.
Случай аппроксимации многочленами.
Особенно важным является частный случай, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен. В этом случае мы получаем теорему:
многочлен n-й степени P(x), который наименее уклоняется (в метрике пространства С) от заданной непрерывной функции f(x), единственен и вполне характеризуется тем, что число последовательных точек интервала [a,b], в которых разность f(x)-P(x) принимает с чередующимися знаками значение
не меньше, чем n+2.2.3 Переход к периодическим функциям.
Допустим, что
- есть непрерывная периодическая функция с периодом 
, которую нужно наилучшим образом аппроксимировать на всей оси при помощи тригонометрической суммы: 
порядка n. Сделаем замену переменной 
так, что интервалу 
будет соответствовать интервал 
.Т.к.
и так как 
есть многочлены степени к от 
, то после преобразования мы получим 
. Следовательно, наша задача сводится к наилучшему (в интервале 
) приближению функции F(x)=f( 
) при помощи выражения вида: 
. Выражение W2n(x) можно рассматривать как частный случай выражения Q(x), если положить m=0, 
. Легко видеть, что общие теоремы применимы, и теорема Чебышева гласит: