Курсовая работа по курсу «Основы преподавания математики»
Кировоградский государственный педагогический университет им. Винниченка
Кировоград
2003
Введение
Учащиеся, приступая к систематическому изучению курса геометрии, уже владеют некоторым запасом геометрических знаний. Знания эти по преимуществу почерпнуты или непосредственно из опыта или восприняты ими интуитивно, путем сопоставления ряда аналогичных или уже знакомых им геометрических фактов.
Преподаватель должен суметь: 1) надлежащим образом использовать накопленные учащимися знания для развертывания перед ними школьного логического курса геометрии, в котором логическое доказательство выдвигается на первое место, где интуиция играет роль разведки, в опыт отходит на задний план, 2) приучить учащихся находить новые геометрические факты, 3) подкреплять при рассмотрении отдельных вопросов теоретические выводы иллюстрацией их практической ценности и тем самым находить тесную увязку теории с практикой, 4) использовать явления окружающей действительности, опыт и интуицию как стимул для постановки вопроса, отнюдь не заменяя логическое доказательство опытом, 5) приучать учащихся усматривать взаимозависимость между отдельными геометрическими фактами, 6) развить в учащихся наблюдательность, строгость и последовательность в суждениях, любовь к исследованию, 7) научить учащихся пользоваться учебником, вести четкую конспективную запись, выполнять опрятно и точно чертежи и быть всегда готовыми к ответу – вот ответственная и сложная задача преподавателя, начиная с первых же занятий по геометрии.
В своей работе преподаватель всегда должен помнить, что учащиеся должны научиться доказывать, но отнюдь не заучивать непонятное доказатель-ство. Необходимо вести работу так, чтобы учащиеся умели четко отличать при разборе теоремы, то что дано, и то, что требуется доказать. Всякое доказательство требует от учащихся сосредоточенности внимания и напряжения мысли, поэтому нельзя перегружать урок разбором и доказательством более чем двух-трех теорем.
Юнг в своей книги «Как преподавать геометрию» писал: «если геометрию изучать так, чтобы учащийся сам делал открытия, то он почувствует ее жизнь».
Раздел 1. Методика преподавания темы «Параллельные прямые. Задачи, связанные с параллельными прямыми»
1.1. Параллельные прямые
К понятию о параллельных прямых следует подвести учащихся следующим образом. Учащимся предлагается провести произвольную прямую АВ, отметить на ней две близлежащие точки М и N и провести через эти точки к прямой АВ перпендикуляры ММ1 и NN1. Ставится вопрос, пересекутся ли эти перпендикуляры, если их продолжить в ту или другую сторону от прямой АВ.
Если на заданный вопрос последует ответ, что прямые не пересекутся, а это учащиеся чувствуют интуитивно, или, наоборот, будет дан ответ, что прямые пересекутся, необходимо указать учащимся, что каждое из сделанных ими утверждений должно быть доказано, т.е. обосновано ссылкой на известные им аксиомы и теоремы.
Доказательство: имеем ММ1 перпендикулярно АВ, NN1 перпендикулярно АВ. Докажем, что перпендикуляры ММ1 и NN1 , проведенные к одной и той же прямой АВ, не могут пересечься. Предположим противное, а именно – что перпендикуляры ММ1 и NN1 пересекутся в некоторой точке О, тогда получается треугольник МОN, в котором сумма двух внутренних углов, Ð1 и Ð2, равна двум прямым: Ð1+Ð2=180, что невозможно, так как согласно сумма двух углов треугольника всегда меньше 180 градусов. Отсюда следует, что принятое допущение, что перпендикуляры ММ1 и NN1 при своем продолжении пересекутся в некоторой точке О, неверно. Итак, два перпендикуляра к одной и той же прямой не пересекаются, сколько бы их ни продолжать.
После такого разбора учащимся указывается, что на плоскости можно расположить две прямые так, что они никогда не пересекутся, и дается определение: прямые, которые расположены в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными.
Возвращаясь затем у полученному выше выводу о взаимном положении двух перпендикуляров к одной и той же прямой, преподаватель отмечает, что этот вывод можно формулировать в виде теоремы: две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны.
Вводится знак для обозначения параллельности двух прямых: АВ ççCD.
Преподаватель должен подчеркнуть, что необходимым условием для параллельности двух прямых является то, что прямые должны лежать в одной плоскости. Это указание должно быть выявлено в определении, а потому определение параллельных прямых без слов «которые расположены в одной плоскости» является неполным.
Следует использовать модель куба для показа параллельных и непараллельных прямых. Так, ребра куба АВ и А1D1 не пересекаются: они лежат в разных плоскостях; поясняется, что такие прямые, в отличие от прямых параллельных, называются скрещивающимися. ребра же куба АВ и А1В1, АА1 и ВВ1, ВВ1 и СС1 также не пересекаются; однако они попарно расположены на одной плоскости, они параллельны.
Теорема о двух перпендикулярах на плоскости к одной и той же прямой является одним из признаков параллельности прямых. Необходимо показать учащимся ее практическое приложение, для чего следует решить задачу:
На плоскости даны две точки А и В. Провести через эти точки две параллельные прямые.
Построение. Через точки А и В проводится прямая MN, и в этих же точках строятся к прямой MN перпендикуляры АС и BD (АС ççBD). Продолжая оба перпендикуляра по другую сторону от прямой MN имеем: СС1ççDD1. Это одно из многочисленных решений; через точки А и В можно провести бесчисленное множество пар параллельных прямых.
Действительно, проводим на плоскости ряд произвольных прямых и к ним через точки А и В перпендикуляры. Получаем, что в каждой из точек А и В пучок прямых. При этом каждой прямой пучка с центром в точке А соответствует определенная прямая, ей параллельная, принадлежащая пучку с центром в точке В.
После этого следует решить задачу на построение. Через точку А вне данной прямой провести прямую, параллельную данной.
Запись задачи на доске: Дана прямая MN и вне ее точка А. Провести через точку А прямую, параллельную данной.
Решение. Из данной точки А проводят к прямой MN при помощи линейки и чертежного треугольника перпендикуляр АР. Затем проводят через точку А к прямой АР перпендикуляр АК также при помощи линейки и чертежного треугольника. Прямая АК параллельна MN на основании теоремы: две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны.
Необходимо предложить учащимся сделать несколько построений, различно расположив прямую MN относительно края доски или листа бумаги.
Когда построение выполнено, преподаватель должен указать, что необходимо еще исследовать, нет ли помимо построенной прямой еще другой прямой, которая также проходит через точку А и параллельна данной прямой MN, и что если таковой нет, то проведенная прямая является единственной прямой, проходящей через точку А параллельно прямой MN.
Учащимся разъясняется, что доказать это положение нельзя при помощи известных нам аксиом и теорем и что вековой опыт человечества, приобретенный решением практических задач, привел еще древних геометров к заключению, что через данную точку вне прямой на плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
Последнее суждение есть аксиома о параллельных.
Не лишнее указать учащимся, что, начиная с древнейших времен, лучшими математиками все же делались попытки доказать аксиому о параллельных, т.е. рассматривать ее как теорему, которая, как они предполагали, может быть доказана при помощи уже принятых аксиом. Однако их попытки были и остались безуспешными. В настоящее время рассуждениями, выходящими за пределы элементарного курса геометрии, установлено, что аксиому о параллельных нельзя доказать без внесения дополнительных аксиом к числу тех, которые установлены Евклидом.
На аксиоме о параллельных и следствиях из нее следует заострить внимание учащихся.
Учащиеся должны уметь формулировать словами запись: на плоскости АВ ççCD и CDççMN, уметь сделать к ней нужный чертеж и после соответствующего доказательства записать вывод, вытекающий из взаимного расположения прямых АВ, CD и MN. А именно, что АВççMN. К чтению такого рода записей и учению по записи сделать соответствующий вывод следует приучать учащихся.
Большинство учебников обычно приводит аксиому о параллельных непосредственно перед рассмотрением обратной теоремы о параллельных, т.е. теоремы: две параллельные прямые, пересеченные третьей, образуют равные внутренние накрест лежащие углы, так как доказательство этой теоремы основано на аксиоме о параллельных. Для прямой теоремы: две прямые, пересеченные третьей, параллельны, если внутренние накрест лежащие углы равны – нет необходимости в применении аксиомы о параллельных. Для доказательства прямой теоремы достаточно предшествующих аксиом.
Приводя все же аксиому о параллельных ранее, а именно – в связи с анализом решения задачи о проведении прямой, параллельной данной прямой, полагаем, что при таком расположении материала учащимся более доступно понимание необходимости аксиомы о параллельных.
1.2. Углы при параллельных прямых
Ознакомление учащихся с углами, образуемыми двумя параллельными и секущей, целесообразно начать с повторения свойств углов, образуемых двумя пересекающимися прямыми, рассмотреть получаемые противоположные и смежные углы и лишь затем перейти к рассмотрению углов, образуемых тремя попарно пересекающимися прямыми, из которых одна по отношению к двум другим, параллельным, называется секущей.
Получаемым при этом восьми углам даются названия. Нужно указать, что не следует требовать от учащихся запоминания всех наименований углов, образуемых двумя параллельными прямыми и секущей. Достаточно, если учащиеся умеют четко разбираться в расположении соответственных и внутренних накрест лежащих углов. Доказывается, что определенная зависимость между углами какой-либо одной из следующих двенадцати пар углов – Ð3 и Ð5, Ð4 и Ð6, Ð1 и Ð7, Ð2 и Ð8, Ð1и Ð5, Ð4 и Ð8, Ð2 и Ð6, Ð3 и Ð7, Ð4 и Ð5, Ð1 и Ð8, Ð3 и Ð6, Ð2 и Ð7 – влечет за собою определенную зависимость между углами каждой из остальных пар. Так, если первая пара углов равна, то равны и следующие семь пар углов, а последние четыре пары углов пополнительные и т.д.