Небесполезно обратить внимание учащихся на следующее: углы, образуемые при пересечении двух параллельных третьей прямой, секущей, – в общем случае углы острые и тупые, при этом все острые углы между собой и все тупые углы между собой равны, а любая пара углов, из которых один острый, а другой тупой, – углы пополнительные. Если же хотя бы один из восьми углов – прямой, то все углы равны и все углы попарно пополнительные.
1.3. Признаки параллельности прямых
В ряде учебников теорема о признаках параллельности двух прямых, пересеченных третьей, доказывается способом от противного.
Это доказательство следующее: допустим, что прямые АВ и CD не параллельны. Тогда они могут пересечься или в какой-нибудь точке О, лежащей права от секущей EF, или в какой-нибудь точке О1, лежащей слева от секущей EF. Если АВ и CD пересекутся в точке О, то в полученном треугольнике OMNÐ1<Ð2. Однако это противоречит условию, согласно которому Ð1=Ð2, а потому допущение, что прямые АВ и CD пересекутся в точке О, неверно. Итак, прямые АВ и CD не могут пересечься, следовательно, они параллельны: АВççCD. К тому же заключению приводит допущение, что прямые АВ и CD пересекутся в некоторой точке О1, слева от секущей EF.
Прямой доказательство данной теоремы, приведенное в учебнике, следует предпочесть доказательствам от противного, изложенным выше, так как метод доказательства от противного всегда представляет для учащихся затруднения, обусловленные тем, что приходится принимать в качестве исходного условия для цепи заключений противоположное тому, что требуется доказать.
После проработки теоремы о признаках параллельности двух прямых следует вернуться к задаче на построение прямой, проходящей через данную точку А параллельно данной прямой MN.
Построение. Через точку А проводится под произвольным углом a к прямой MN секущая EF, и при точке А строится угол, равный углу a, как угол соответственный или внутренний накрест лежащий так, чтобы одна сторона угла совпала с секущей EF. Следует указать, что построение, ранее приведенное и сводящееся к построению двух перпендикуляров к третьей прямой, аналогично последнему построению.
Учащимся должны быть даны практические указания о проведении параллельных прямых при помощи линейки и чертежного треугольника. Указывается, что при параллельном перемещении чертежного треугольника вдоль ребра линейки прямые, проводимые вдоль одного из катетов или гипотенузы чертежного треугольника, образуют вместе с ребром линейки равные соответственные углы, в силу чего проводимые прямые параллельны.
Теорема: две параллельные прямые, пересеченные третьей, образуют равные внутренние накрест лежащие углы – является теоремой, обратной теореме о признаках параллельности двух прямых. В учебниках она доказывается методом от противного, и как следствие из нее приведено суждение: прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикуля-рна и к другой.
Можно привести и прямое доказательство указанной теоремы, но тогда необходимо сперва доказать, как следствие из аксиомы о параллельных, что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и к другой.
После проработки теоремы, обратной теореме о признаках параллельности двух прямых, можно вместе с учащимися составить в виде таблицы сводку признаков параллельности прямых.
1.4. Признаки непараллельности прямых
Для прямой теоремы, выражающей признаки параллельности двух прямых, и ей обратной также верны и противоположные теоремы:
I. Если при пересечении двух прямых третьей 1) внутренние накрест лежащие углы не равны, 2) внешние накрест лежащие углы не равны, 3) соответственные углы не равны, 4) внутренние односторонние углы не пополнительны, т.е. сумма их больше или меньше 2d, и 5) внешние односторонние углы не пополнительны, то прямые не параллельны.
II. Если две прямые не параллельны, то при пересечении их третьей прямой: 1) внутренние накрест лежащие углы не равны, 2) внешние накрест лежащие углы не равны, 3) соответственные углы не равны, 4) внутренние односторонние углы не составляют в сумме 2d и 5) внешние односторонние углы не составляют в сумме 2d.
Теоремы эти доказываются методом от противного. Теоремы выражают признаки непараллельности двух прямых.
Приведем доказательство одного из признаков непараллельности: если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов не равна 2d, то прямые не параллельны, и они следовательно, пересекаются.
Допустим, что АВççCD, тогда Ða+Ðb=2d. Но это противоречит условию, а потому принятое допущение неверно. Если же прямая АВ не параллельна прямой CD, то прямые пересекаются.
Рассмотренное доказательство одного из признаков непаралллельности прямых, а также доказательства остальных признаков могут служить темами для самостоятельной работы учащихся.
Приведенный признак непараллельности прямых, дополненный утверждением, что прямые пересекутся по ту сторону секущей, на которой сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, был принят Евклидом как аксиома параллельных прямых и известен как V постулат Евклида.
У Евклида аксиома гласит: если две прямые линии встречаются с третьей так, что сумма внутренних углов, лежащих по одну сторону третьей, меньше двух прямых углов, то две первые прямые при достаточном своем продолжении встретятся по ту сторону третьей прямой, на которой сумма внутренних углов меньше двух прямых.
В современных элементарных курсах геометрии V постулат Евклида заменяется равносильной ему аксиомой о параллельных, данной еще Проклом (412-485), одним из комментаторов Евклида.
Следует остановиться на одном из признаков непараллельности прямых, который используется при доказательстве теоремы: через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну.
Теорема (признак непараллельности). Перпендикуляры к двум пересекающимся прямым пересекаются.
Действительно, если допустить, что MN и KL не пресекаются, то MNççKL. Но в таком случае прямая АВ, перпендикулярная к MN, будет перпендикулярна и к KL, так как MNççKL. Итак, и CD и АВ перпендикулярны к KL, но CDиAB пересекаются в некоторой точке Р, следовательно, из точки Р проведены к KL два перпендикуляра, AB и CD, что невозможно. А потому допущение, что MNççKL неверно. Если же MN не параллельна KL, то MN и KL пересекаются.
Последняя теорема представляет для учащихся значительные трудности. Поэтому целесообразно рассмотреть ее позднее (на следующем году обучения геометрии) для обоснования вывода теоремы о проведении окружности через три точки, не лежащие на одной прямой.
1.5. Углы с взаимно параллельными сторонами, углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Теорему о свойстве углов с соответственно параллельными сторонами следует рассмотреть для случаев, когда данные углы или оба острые, или оба тупые, или один из них острый, а другой тупой.
Теорема находит широкое применение при изучении свойств различных фигур и, в частности, четырехугольника.
Встречающееся иногда при формулировке теорем указание на то, что стороны углов с соответственно параллельными сторонами могут иметь или одинаковое или противоположное направление, считаем ненужным.
Если пользоваться термином «направление», то следовало бы разъяснить, что должно понимать под этим словом. Достаточно обратить внимание учащихся на то, что углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые, если же один из углов тупой, а другой острый, то они в сумме составляют 2d.
Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами может быть дана непосредственно после теоремы о свойстве углов с соответственно параллельными сторонами. Учащимся приводятся примеры использования свойств углов с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами в приборах и деталях машин.
1.6. Сумма углов треугольника
При выводе теоремы о сумме углов треугольника можно использовать наглядные пособия. Вырезают треугольник АВС, пронумеровываются его углы, затем обрывают их и прикладывают друг к другу. Получается Ð1+Ð2+Ð3=2d. Проводят из вершины С треугольника АВС высоту СD и перегибают треугольник так, чтобы высота делилась пополам, т.е. вершина С упала в точку D – основание высоты. Линия перегиба MN есть средняя линия треугольника АВС. Затем перегибают равнобедренные треугольники АМD и DNB по их высотам, при этом вершины А и В совпадут с точкой D и Ð1+Ð2+Ð3=2d.
Следует помнить, что использованием наглядных пособий в систематическом курсе геометрии отнюдь не ставится задача подменить логическое доказательство какого-либо предложения опытной проверкой его.
Наглядные пособия должны лишь содействовать пониманию учащимися того или иного геометрического факта, свойств той или иной геометрической фигуры и взаимно расположения отдельных ее элементов.
При определении величины угла треугольника следует напомнить учащимся о рассмотренной ранее теореме о внешнем угле треугольника и указать, что теорема о сумме углов треугольника позволяет и построением и вычислением установить числовую зависимость между углами внешними и внутренними, не смежными с ними.