Отсюда

,

.

На участке

производная

>0, значит это участок вогнутости графика функции.
На участке

производная

>0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при

график заданной функции является вогнутым.
На участке

производная

<0,значит, при

график заданной функции является выпуклым (рис. 3).
Следовательно, точки

,

- точки перегиба графика заданной функции

.

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Фирма производит товар двух видов в количествах

и

. Задана функция полных издержек

. Цены этих товаров на рынке равны

и

. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.

,

,

Решение:
Пусть

- функция прибыли, тогда

Найдем первые частные производные функции

:

,

. Найдем стационарные точки графика функции

. Для этого решим систему:

Следовательно

- стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого
введем обозначения:

,

,

,
тогда

,

,

,

. Т.к.

> 0, то экстремум есть, а т.к.

< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска

и

, достигается максимальная прибыль равная:

Ответ:

и достигается при объемах выпуска

и

.
Задание №12. Вопрос №9.
Вычислить неопределенный интеграл:

Решение:

Ответ:

Задание №14. Вопрос №2.
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)

.
Решение:

Ответ:Данный несобственный интеграл – расходящийся.
Задание №15. Вопрос №6.
Решить уравнение

Решение:

. Разделив обе части на

, получим

. Проинтегрируем полученное уравнение

. Представим

, как

, тогда

Ответ:Решением данного уравнения является

.
Задание №18. Вопрос №9.
Найти общее решение уравнения:

Решение:
Найдем корни характеристического уравнения:

, тогда

, следовательно

,

, тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:

,

Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений

и

, возьмем

,

, тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Представим правую часть уравнения, как

и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:

. Имеем

,

, тогда т.к.

- многочлен второй степени, то общий вид правой части:

. Найдем частные решения:

,

,