2) Как показал эксперимент, большинство студентов понимают, что если движущееся тело занимает одно и тоже положение в начальный и конечный моменты времени, то в момент t0 наибольшего удаления s′(t0) = 0. Если распространить это утверждение на более широкое множество, то мы можем сформулировать следующую гипотезу. Гипотеза 2 (Ролль). Если функция f(x) подобна закону движения тела на отрезке [a,b] и f(a) = f(b), то существует такое значение аргумента x0 , что f′(x0) = 0.
Нетрудно увидеть в этой гипотезе теорему Ролля. Нетрудно также заметить, что преподаватель может использовать дополнительное рассуждение для пояснения естественности рассматриваемой гипотезы. Действительно, допустим, что в момент наибольшего
удаления скорость тела больше нуля. Тогда тело, двигаясь по инерции, удалится от начала движения на расстояние, превосходящее расстояние максимального удаления. Очевидно, что последнее невозможно по чисто логическим соображениям. Аналогично отвергается случай отрицательной скорости в момент наибольшего удаления.
3) Выведем критерий постоянства функции из физических соображений. Тот факт, что тело покоится в течение некоторого промежутка времени, можно выразить в одной из двух равносильных форм. Во-первых, можно сказать, что координата тела является константой, а во-вторых, что скорость тела тождественно равна нулю:
s(t) ≡ const <=> Тело покоится <=> s'(0 = 0.
Удалив из рассуждения промежуточные звенья, мы получим, что для любого закона движения тела справедливо утверждение s(0 = const <=> s′(t = 0.
Если распространить полученную эквиваленцию на более широкий класс функций, а именно, на множество функций, подобных закону движения тела, то мы придем к следующей гипотезе.
Гипотеза 3 (Постоянство функции). Функция, подобная закону движения тела, постоянна тогда и только тогда, когда ее производная тождественно равна нулю: f(x) ≡ const <=> f′(x) ≡ 0.
4) Если скорость тела положительна, то это означает, что оно движется вперед без остановок, и следовательно, его координата возрастает. Другими словами, получаем, что для любого закона движения тела справедливо утверждение
s′(t) = v(t) > 0 => s(t) возрастает.
Если распространить полученную импликацию на более широкий класс функций, а именно, на множество функций, подобных закону движения тела, то мы придем к следующей гипотезе.
Гипотеза 4 (Достаточное условие монотонности). Если функция подобна закону движения тела и ее производная положительна, то функция возрастает: f′(x) > 0 => f(x) возрастает.
Подобные рассуждения можно было бы провести в отношении других теорем дифференциального исчисления. Многократные проверки показали, что студенты легко справляются с задачей распространения свойств движений на более широкий класс функций и самостоятельно получают в виде гипотез все основные теоремы дифференциального исчисления.
В заключение отметим, что возникновение математических утверждений в виде гипотез отнюдь не заменяет их строгого логического доказательства, даже если в процессе самостоятельного вывода этих утверждений студенты продемонстрировали способность к математическому творчеству. В то же время нельзя недооценивать этот творческий акт. Даже с утилитарной точки зрения он дает преподавателю большую свободу в отношении дальнейших математико-педагогических действий. Проверку гипотез можно сделать немедленной или отсроченной, выполнить эту проверку самому или отослать студентов к учебникам, заняться применением этих гипотез в физике или математике и проч. Выбор педагогом того или иного способа действий зависит от конкретной ситуации.
Список литературы
Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. - М.: Наука, 1991. - 223 с. Нейман, Дж. фон. Математик // Природа. - 1983. - № 2. - С. 88-95. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. - М.: Наука, 1966.-607 с.
Ястребов А.В. Использование интуиции студентов в преподавании дифференциального исчисления // Актуальные методические и психолого-педагогические проблемы обучения в высшей школе. Тезисы докладов II областной научно методической конференции. -Ярославль: Изд-во Ярославского гос. университета, 1990. - С. 35-36. Ястребов А.В. Моделирование научных исследований как средство оптимизации обучения студента педагогического вуза // Дисс.…. д-ра пед. наук. - Ярославль, 1997. - 386 с.