Методы Хука-Дживса (стр. 1 из 2)
Методы Хука-Дживса
Содержание:
1. Введение
2. Метод Хука-Дживса
3. Модифицированный метод Хука-Дживса
4. Блок-схема данного метода
5. Блок-схема единичного исследования
6. Текст программы
7. Распечатка результатов работы программы
8. Литература
Введение
На разработку методов прямого поиска для определения минимума функций и переменных было затрачено много усилий . Методы прямого поиска являются методами, в которых используются только значения функции. Мы рассмотрим подробно лишь один из них. Практика показала, что этот метод эффективен и применим для широкого числа приложений.
Рассмотрим функцию двух переменных. Ее линии постоянного уровня1 на рис. 1,
x2
рис. 1
C D
A B
x1
а минимум лежит в точке (x1*,x2*). Простейшим методом поиска является метод покоординатного спуска. Из точки А мы производим поиск минимума вдоль направления оси и , таким образом, находим точку В, в которой касательная к линии постоянного уровня параллельна оси . Затем, производя поиск из точки В в направлении оси , получаем точку С, производя поиск параллельно оси , получаем точку D, и т. д. Таким образом, мы приходим к оптимальной точке. Очевидным образом эту идую можно применить для функций n-переменных.
Теоретически данный метод эффективен в случае единственного минимума функции. Но на практике он оказывается слишком медленным. Поэтому были разработаны более сложные методы, использующие больше информации на основании уже полученных значений функции.
Метод Хука-Дживса
Метод Хука-Дживса был разработан в 1961 году, но до сих пор является весьма эффективным и оригинальным. Поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки , за которой в случае успеха следует поиск по образцу. Он применяется для решения задачи минимизирования функции без учета ограничений .
Описание этой процедуры представлено ниже:
А. Выбрать начальную базисную точку b1 и шаг длиной h1 для каждой переменной xj, j = 1, 2,…, n. В приведенной ниже программе для каждой переменной используется шаг h, однако указанная выше модификация тоже может оказаться полезной.
Б. Вычислить f (х) в базисной точке b1 с целью получения сведений о локальном поведении функции f (x). Эти сведения будут использоваться для нахождения подходящего направления поиска по образцу, с помощью которого можно надеяться достичь большего убывания значения функции. Функция f(x) в базисной точке b1, находится следующим образом:
1. Вычисляется значение функции f (b1) в базисной точке b1.
2. Каждая переменная по очереди изменяется прибавлением длины шага. Таким образом, мы вычисляем значение функции f (b1+h1e1), где e1 – единичный вектор в направлении оси x1. Если это приводит к уменьшению значения функции, то b1 заменяется на b1+h1e1. В противном случае вычисляется значение функции f (b1-h1e1), и если ее значение уменьшилось, то b1 заменяем на b1-h1e1. Если ни один из проделанных шагов не приводит к уменьшению значения функции, то точка b1 остается неизменной и рассматриваются изменения в направлении оси х2, т. е. находится значение функции f (b1+h2e2) и т. д. Когда будут рассмотрены все n переменные, мы будем иметь новую базисную точку b2.
3. Если b2=b1, т. е. уменьшение функции не было достигнуто, то исследование повторяется вокруг той же базисной точки b1, но с уменьшенной длиной шага. На практике удовлетворительным является уменьшение шага (шагов) в десять раз от начальной длины.
4. Если b2 
b1, то производится поиск по образцу.
В. При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в направлении, заданном образцом. Эта процедура производится следующим образом:
3. Разумно двигаться из базисной точки b2 в направлении b2-b1, поскольку поиск в этом направлении уже привел к уменьшению значения функции. Поэтому вычислим функцию в точке образца
P1=b1+2(b2-b1) .
В общем случае
Pi=bi+2(bi+1-bi) .
2. Затем исследование следует продолжать вокруг точки Р1 (Рi) .
3. Если наименьшее значение на шаге В, 2 меньше значения в базисной точке b2 (в общем случае bi+1), то получают новую базисную точку b3 (bi+2), после чего следует повторить шаг В, 1. В противном случае не производить поиск по образцу из точки b2 (bi+1), а продолжить исследования в точке b2 (bi+1).
Г. Завершить этот процесс, когда длина шага (длины шагов) будет уменьшена до заданного малого значения.
Модифицированный метод Хука-Дживса
Этот метод нетрудно модифицировать и для учета ограничений .Было выдвинуто предложение , что для этого будет вполне достаточно при решении задачи минимизации присвоить целевой функции очень большое значение там,где ограничения нарушаются .К тому же такую идею просто реализовать с помощью програмирования .
Нужно проверить ,каждая ли точка ,полученная в процессе поиска , принадлежит области ограничений .Если каждая , то целевая функция вычисляется обычным путем . Если нет , то целевой функции присваивается очень большое значение . Таким образом , поиск будет осуществляться снова в допустимой области в направлении к минимальной точке внутри этой области.
В тексте прогаммы модифицированного метода прямого поиска Хука-Дживса сделана попытка реализовать такую процедуру. Рассматриваемая задача формулируется следующим образом :
минимизировать f (x1,x2) = 3x12+4x1x2+5x22 ,
при ограничениях x1 
x2 x1+x2 
.
Текст программы
program HuDjMody;
(*** Модифицированный метод Хука-Дживса ***)
(*** (при наличии ограничений) ***)
uses crt;
label 0,1,2,3,4,5,6,7;
var k,h,z,ps,bs,fb,fi :real;
i,j,n,fe :integer;
x,y,b,p :array[1..10] of real;
(*** Процедура,вычисляющая функцию ***)
procedure calculate;
begin
z:=3*sqr(x[1])+(4*x[1]*x[2])+(5*sqr(x[2]));
if (x[1]<0) or (x[2]<0) or ((x[1]+x[2])<4) then
z:=1.7e+38;
fe:=fe+1; (*** Счетчик ***)
end;
begin
clrscr;
gotoxy(20,2);
writeln('Модифицированный метод Хука-Дживса');
gotoxy(23,3);
writeln('( при наличии ограничений )');
writeln;
writeln('Введите число переменных:');
readln(n);
writeln;
writeln('Введите начальную точку x1,x2,…,xN');
for i:=1 to n do
readln(x[i]);
writeln;
writeln('Введите длину шага');
readln(h);
writeln;
k:=h;
fe:=0;
for i:=1 to n do
begin
y[i]:=x[i];
p[i]:=x[i];
b[i]:=x[i];
end;
calculate;
fi:=z;
writeln('Начальное значение функции', z:2:3);
for i:=1 to n do
writeln(x[i]:2:3);
ps:=0;
bs:=1;
(*** Исследование вокруг базисной точки ***)
j:=1;
fb:=fi;
0: x[j]:=y[j]+k;
calculate;
if z<fi then goto 1;
x[j]:=y[j]-k;
calculate;
if z<fi then goto 1;
x[j]:=y[j];
goto 2;
1: y[j]:=x[j];
2: calculate;
fi:=z;
writeln('Пробный шаг',' ', z:2:3);
for i:=1 to n do
writeln(x[i]:2:3);
if j=n then goto 3;
j:=j+1;
goto 0;
3: if fi<fb-1e-08 then goto 6;
(*** После оператора 3,если функция не уменьшилась, ***)
(*** произвести поиск по образцу ***)
if (ps=1) and (bs=0) then
goto 4;
(*** Но если исследование производилось вокруг точки ***)
(*** шаблона PT,и уменьшение функции не было достигнуто,***)
(*** то изменить базисную точку в операторе 4: ***)
(*** в противном случае уменьшить длину шага в операторе***)
(*** 5: ***)
goto 5;
4: for i:=1 to n do
begin
p[i]:=b[i];
y[i]:=b[i];
x[i]:=b[i];
end;
calculate;
bs:=1;
ps:=0;
fi:=z;
fb:=z;
writeln('Замена базисной точки',' ',z:2:3);
for i:=1 to n do
writeln(x[i]:1:3);
(*** (следует за последним комментарием) ***)
(*** и провести исследование вокруг новой базисной точки ***)
j:=1;
goto 0;
5: k:=k/10;
writeln('Уменьшить длину шага');
if k<1e-08 then goto 7;
(*** Если поиск незакончен,то произвести новое ***)
(*** исследование вокруг новой базисной точки ***)
j:=1;
goto 0;
(*** Поиск по образцу ***)
6: for i:=1 to n do
begin
p[i]:=2*y[i]-b[i];
b[i]:=y[i];
x[i]:=p[i];
y[i]:=x[i];
end;
calculate;
fb:=fi;
ps:=1;
bs:=0;
fi:=z;
writeln('Поиск по образцу',' ',z:2:3);
for i:=1 to n do
writeln(x[i]:2:3);
(*** После этого произвести исследование вокруг ***)
(*** последней точки образца ***)
j:=1;
goto 0;
7: writeln('Минимум найден');
for i:=1 to n do
writeln('x(',i,')=',p[i]:2:3);
writeln;
writeln('Минимум функции равен',' ',fb:2:3);
writeln('Количество вычислений функции равно',' ',fe);
repeat until keypressed;
end.
Приведенная выше программа реализует описанную процедуру. Одной или двух точек бывает недостаточно для определения начальной точки. Первая точка всегда должна выбираться осмотрительно. ЭВМ работает только с ограниченной точностью, и ошибки могут накапливаться в процессе сложных вычислений, особенно если шаг имеет “неудобную” длину. (Обычно мы будем избегать “неудобной” длины, но программа должна быть работоспособна и в таких ситуациях.) Поэтому в строке , где выясняется вопрос об изменении базисной точки, мы избегаем уменьшения длины шага из-за накапливания ошибки введением длины шага, равной
. Мы отслеживаем, где производится исследование – в базисной точке (В5 = 1, Р5 = 0) или в точке образца (В5 = 0, Р5 = 1). Как можно убедиться на практике, если не принимаются такие меры предосторожности даже программа с удовлетворительной логикой будет неработоспособна.