Доказано.
Теорема 4:

Доказательство:

Пусть есть число

, то

– ограничен, а по теореме 3 при этом выполняется условие

, поскольку речь идёт о линейных операторах, то можно записать:

, а следовательно,

, от куда

, то есть условие

при

.

Пусть есть некоторое число

для оператора

, такое, что

, но

, то условие можно переписать так:

.
Проведём доказательство методом от противного. Предположим, что число

, для которого выполняется это условие, принадлежит спектру, но тогда по определению спектра резольвента оператора

является неограниченным оператором, а по теореме 1 не выполнится условие

, то есть

, где

, имеем, с одной стороны,

,
а, с другой,

,
получили противоречие. Значит

.
Доказано.
Список литературы
М. Девис. Прикладной нестандартный анализ – Москва: Изд-во Мир, 1980 год.
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.
Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. Линейные операторы.
И.М. Глазман, Ю.И. Любич. Конечномерный линейный анализ.
В.А. Успенский. Что такое нестандартный анализ? –
Москва: изд-во «Наука», 1987