Будем говорить, что последовательности

эквивалентны, если равенство

“выполнено почти при всех i“, т.е. Если множество тех i, при которых

, большое. Согласно свойству 5 любые последовательности, отличающиеся в конечном числе членов, эквивалентны. С каждой последовательностью сопоставим ее класс эквивалентности – класс всех эквивалентных ей последовательностей. Получающиеся классы эквивалентности будут называться гипердействительными числами. Обыкновенные действительные числа вкладываются в множество гипердействительных чисел. Таким образом, *R оказывается, как мы того и хотели, расширением множества R.
Определим сложение и умножение на гипердействительных числах. Пусть класс

содержит последовательность

, класс

– последовательность

. Назовем суммой классов

и

класс, содержащий последовательность

,а произведением последовательность

. Корректность этих определений обеспечивается свойством 4 из определения ультрафильтра.
Итак, мы ввели на множестве гипердействительных чисел сложение, умножение и порядок. Нетрудно проверить, что мы получили упорядоченное поле, т.е. что во множестве гипердействительных чисел выполняются все обычные свойства сложения, умножения и порядка. Аксиома Архимеда, однако, в этом поле не выполняется.
Не знаю, как назвать
А теперь посмотрим, как ведут себя расширения операторов.
Теорема 1:

Доказательство:

Пусть

. Это внутреннее множество. Внутренне числовое множество имеет супремум. Пусть

. Если М – конечен, то А – ограничен. Если М – бесконечен, то

такой, что

, но

, то есть

– бесконечна. Рассмотрим

, но, с другой стороны,

. Получили противоречие, если предположить, что норма бесконечна. Значит оператор А ограничен.
Доказано.
Теорема 2:

Доказательство:
Пусть есть операторы А и А1 такие, что

.
Воспользуемся теоремой:
Если оператор

и обратим, а так же есть оператор В такой, что

, то А1 – обратим, причём

.
Поскольку данные операторы бесконечно близки, то норма их разности есть число бесконечно малое. А норма оператора А – конечна, а бесконечно малое число, естественно, меньше числа, обратного конечному, что гарантирует выполнение неравенства

. Поэтому оператор В тоже обратим. Оценим норму

, воспользуемся вторым неравенством:

– конечна,

, от сюда

, то

. Так как мы поняли, что оператор А1 обратим, то это неравенство можно записать по-другому:

, от куда получим

. Имеем одновременное выполнение двух неравенств:

и

, то есть

, откуда

. Что и требовалось доказать.
Доказано.
Определение резольвенты в этом поле такое же, как и в стандартном. Но есть некоторое расхождение в определении спектра и собственного вектора.
Спектром линейного оператора в

называется множество:

.
Здесь пользуются определением не собственного вектора, а почти собственного вектора:
Когда оператор

существует, но этот оператор не ограничен, и уравнение

имеет ненулевое решение, тогда вектор х мы будем называть почти собственным вектором. А число

является элементом непрерывного спектра. Выше мы рассматривали пример линейного оператора, отображающий пространство непрерывных функций на отрезке [a,b] на себя: оператор умножения на функцию g(x). Возьмём в качестве функции

, тогда резолвента этого оператора запишется в следующем виде

, тогда непрерывным спектром будет являться сам отрезок

.

Рассмотрим функции вида (Рис. 1):

Где m – некоторая точка отрезка
, а
. Такие функции будут непрерывны на отрезке
и являются почти собственными векторами оператора умножения на функцию g(x)=х. То есть выполняется:
. Покажем это. Для этого надо показать, что
. В пространстве
норма такая же, как и в его стандартном аналоге. Интеграл по принципу переноса считается аналогично. 
Таким образом, получили, что
.Теорема 3:

Доказательство:
– ограничен, то ограничен и оператор
, то по теореме 1 выполняется
. А поскольку он ещё и обратим, то выполняется
, так как
По теореме 1условие
означает, что оператор
ограничен, из чего и следует ограниченность оператора
.