Рассмотрим насколько примеров резольвент операторов.
Пример 1: Возьмём оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное, как было сказано выше, его можно задать матрицей коэффициентов:

, тогда

С помощью нехитрых преобразований находим обратную матрицу, тем самым резольвенту этого оператора:

,
здесь хорошо видно, что оператор, заданный этой матрицей не существует при

=1, то есть это собственное значение оператора А.
Пример 2: Рассмотрим линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций на отрезке [a,b] на себя. Пусть это будет оператор умножения на функцию g(x). Тогда резольвента этого оператора запишется в следующем виде:

, такой оператор непрерывен, если функция g(x) не принимает значение

на отрезке [a,b], в противном случае

будет являться собственным значением. То есть спектр этого оператора состоит из значений функции g(x) на отрезке [a,b]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при

существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет.
Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А:

(для краткости будем писать вместо f(x) просто f). Рассмотрим резольвенту этого оператора:

, то есть мы должны найти обратный оператор к оператору:

, для чего надо решить дифференциальное уравнение относительно

. Решим уравнение

методом Бернулли:

;

;

;

;

;

;

, откуда

,
тогда

. Видно, что резольвента существует и непрерывна, когда существует и непрерывен интеграл.
Резольвентное множество. Спектр
Пусть А – оператор, действующий в В-пространстве. Если

регулярна, т.е. оператор

существует и ограничен, то при достаточно малом

оператор

тоже существует и ограничен, т.е. точка

+

тоже регулярна. Таким образом, регулярные точки образуют открытое множество. Докажем это.
Теорема: Резольвентное множество

открыто, функция резолвента

аналитична в этой области.
Доказательство:
Пусть

- фиксированная точка в

и

- любое комплексное число, такое, что

. Покажем, что

. Оператор

должен иметь обратный, если

. Этот обратный оператор, если он существует, будет выглядеть так:

.
Рассмотрим эту дробь как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда она представима в виде ряда

.
Мы предполагали, что

, то

, следовательно, этот ряд сходится. Покажем, то

это резольвента

:

,
отсюда и следует, что

и что

=

аналитична в точке

Доказано.
Следовательно, спектр, т.е. дополнение этого множества – замкнутое множество, и резольвента аналитична на бесконечности.
Следствие: Если

равно расстоянию от

до спектра

, то

,

.
Таким образом,

при

и резольвентное множество есть естественная область аналитичности

.
Доказательство:
В доказательстве предыдущей теоремы мы видели, что если

, то

. Следовательно,

, от куда и следует доказываемое утверждение.
Доказано.
Резольвента как функция от 
А сейчас рассмотрим резольвенту как функцию от

и докажем несколько утверждений о её свойствах и особенностях. Для доказательства следующего утверждения нам понадобится следующая теорема.
Теорема 5: Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что

. Тогда оператор

существует, ограничен и представляется в виде

.
Доказательство:
Так как

<1, то

.Пространство Е полно, так что из сходимости ряда

вытекает, что сумма ряда

представляет собой ограниченный линейный оператор. Для любого n имеем