Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора (стр. 2 из 8)

Всякий непрерывный оператор ограничен.

Если А – ограниченный оператор, действующий из Е в Е1, и в пространстве Е выполнена первая аксиома счётности (если каждая точка топологического пространства имеет счётную определяющую систему окрестностей, т.е. систему окрестностей точки, обладающую следующими свойствами: каково бы ни было открытое множество G, содержащее эту точку, найдётся окрестность из этой системы, целиком лежащая в G), то оператор А непрерывен.

То есть, в пространствах с первой аксиомой счётности ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.

Если Е и Е1 – нормированные пространства, то условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Е1, можно сформулировать так: оператор а называется ограниченным, если он переводит всякий шар в ограниченное множество. В силу линейности оператора А это условие можно сформулировать так: А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого

.

Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается

. Справедлива так же такая теорема:

Теорема: Для любого ограниченного оператора А, действующего из нормированного пространства в нормированное,

= .

Определение: Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из линейного топологического пространства Е в пространство Е1. Назовём суммой А+В оператор С, ставящий в соответствие элементу х

Е элемент

y=Ax+By

E1.

С=А+В – линейный оператор, непрерывный, если А и В непрерывны. Область определения Dc есть пересечение DA

DB областей определения оператора А и оператора В.

Если Е и Е1 – нормированные пространства, а операторы А и В ограничены, то С тоже ограничен, причём

.

Это следует из:

.

Определение: Пусть А и В – линейные операторы, причём А действует из пространства Е в Е1, а В действует из Е1 в Е2. Произведением ВА операторов А и В называется оператор, ставящий в соответствие элементу х

Е элемент

z=B(Ax)

из Е2. Область определения DC оператора С=ВА состоит из тех х

DA, для которых Ax DB. Ясно, что оператор С линеен. Он непрерывен, если А и В непрерывны.

Если А и В – ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор С=ВА ограничен, причём

Это следует из:

Обратный оператор. Обратимость

Пусть А – оператор, действующий из Е в Е1, и DA – область определения, а RA – область значений этого оператора.

Определение: Оператор А называется обратимым, если для любого

уравнение

имеет единственное решение.

Если А обратим, то каждому

можно поставить в соответствие единственный элемент , являющийся решением уравнения . Оператор, осуществляющий это соответствие, называется оператором обратным к А и обозначается .

Рассмотрим оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное. Выше было сказано, что он задаётся матрицей коэффициентов. Таким образом, оператор обратим, если обратима матрица коэффициентов, которой он задаётся. А матрица обратима лишь в том случае, если её определитель не равен нулю. То есть матрицы, которые имеют ненулевой определитель, задают обратимый оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное.

Теорема: Оператор

, обратный к линейному оператору А, также линеен.

Теорема Баноха об обратном операторе: Пусть А – линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1. Тогда обратный оператор

тоже ограничен.

Теорема: Пусть ограниченный линейный оператор А0, отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1, обладает ограниченным обратным

и пусть – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в Е1, что . Тогда оператор А= отображает Е на Е1 и обладает ограниченным обратным.

Теорема: Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что норма

. Тогда оператор существует, ограничен и представляется в виде

.

Резольвента линейного оператора

Определение и примеры резольвенты оператора

Рассмотрим оператор А, действующий в (комплексном) линейном топологическом пространстве Е, и уравнение

Ах=

Решения этого уравнения зависят от вида оператора

. Имеется три возможности:

уравнение Ах=

имеет ненулевое решение, т.е. есть собственное значение для А; оператор при этом не существует;

существует ограниченный оператор

, т.е. есть регулярная точка;

оператор

существует, т.е. уравнение Ах= имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введём следующую терминологию. Оператор

называется резольвентой оператора А. Число мы назовём регулярным для оператора А, действующего в линейном топологическом пространстве Е, если оператор определён на всём Е и непрерывен, множество таких будем называть резольвентным множеством и обозначать . Совокупность всех остальных значений называется спектром оператора А, будем обозначать . Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как если х=0 при некотором , то не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, т.е. совокупность тех , для которых существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

В конечномерном же случае имеется лишь две первые возможности. Причём,

называется собственным значением оператора, если данное уравнение имеет ненулевое решение. Совокупность всех собственных значений образуют спектр оператора, а все остальные значения называются – регулярными. Иначе, говоря , есть регулярная точка, если оператор обратим.