Различные подходы к определению проективной плоскости (стр. 9 из 9)

Треугольники АВС и RST - дезарговы треугольники.

RSÇAB=M

TSÇBC=K () M,K,LÎз (по условию)

TRÇAC=L

Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга ARÇBSÇCT=Q.

№13. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана ()С не лежащая ни на одной из данных прямых. Построить прямую SC.

Построение.

Выбираем произвольно прямую s, () A,A’Îa и ()ВÎb.

1)ABÇs=P, 2)PA’Çb=B’, 3)ACÇs=R,

4)BCÇs=Q, 5)A’R, B’Q, 6)B’QÇA’R=C’,

7)CC’ искомая прямая.

Доказательство:

Треугольники АВС и А’В’С’ - дезарговы треугольники, прямая s - дезаргова прямая.

ABÇA’B’=P

ACÇA’C’=RÎs (по построению)

BCÇB’C’=Q

По обратной теореме Дезарга AA’ÇCC’ÇBB’=S.

№14. Даны две точки P и Q и не проходящая через них прямая c. построить () PQÇC, не проводя PQ.

Анализ: Произвольно выбираем прямую s, ()Q1ÎC,Q

QQ₁Q₂ - трехвершинник, построить РР1Р2 – трехвершинник,P₁ÎC, PQÇP₁Q₁ÇP₂Q₂=S

Обратная теорема Дезарга.

Построение:

1)

QQ₁Çs=X

2)

PXÇC=P₁

3) Q₁Q₂Çs=Y

4) QQ₂Çs=Z

5)

YP₁

6) ZPÇYP₁=P₂

7) P₂Q₂Çc=S ()S - искомая точка.

Доказательство:

Треугольники QQ₁Q₂ и PP₁P₂ - дезарговы.

QQ₂ÇPP₂=Z

QQ₁ÇPP₁=XÎS (по построению).

Q₁Q₂ÇP₁P₂=Y

По обратной теореме Дезарга. PQÇP₁Q₁ÇP₂Q₂=SÞPQÇc=S искомая точка.

№15. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () С провести прямую, параллельную а и b.

1) Анализ: Произвольно выбираем прямую s. ()А,А’Îа, ()ВÎb.

Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая ()S_¥ - несобственная, прямая s - собственная.

Треугольники АВС и А’В’С’ - построить.

2)

Построение: