Различные подходы к определению проективной плоскости (стр. 7 из 9)

Применяя П6 к треугольникам АBR и A’B’R’, мы получаем, что Р=АB’ÇA’BÎl’’. Аналогично, применяя П6 к ACR и A’C’R’, мы получаем, что Q=AC’ÇA’CÎl’’. Таким образом, l’’ есть прямая, которая была использована в предложении 2 (п.3.7) для построения второго проективного отображения

l = l’’ = l’

Пусть теперь DÎl – произвольная точка; определим D’’=R’DÇl’’и D’=RD’’Çl’.

Из П6, применимой к треугольникам ADR и A’D’R’, следует, что AD’ÇA'D, A’’,D’’ коллинеарны, то есть AD’ÇA’DÎl’’. Но это означает, что также и проективное отображение предложения 2 переводит D в D’. Следовательно, эти проективные отображений совпадают. ч.т.д.

Теорема 2: П5 следует из П6.

Доказательство: Пусть, О,A,B,C,A',B',C' удовлетворяют предложениям теоремы Дезарга (П5), построим P,Q,R. Для доказательства их коллинеарности нам придется трижды применить П6.

Шаг 1: Пусть A’C’ пересекает АВ в точке S. Затем применим П6 к прямым.

О С C’

BSA и заключим отсюда, что точки T=OSÇBC, U=OAÇBC’, Q коллинеарны.

Шаг 2: Применим теперь П6 к тройкам OBB’

C’ A’ S

и заключим отсюда, что точки U,V=OSÇB’C’, P коллинеарны.

Шаг 3: Применим, наконец, П6 к тройкам BC’ U

VTS

и заключим отсюда, что точки R, P=BSÇUV (шаг2),Q=C’SÇTU (шаг1) коллинеарны. ч.т.д.

Следствие: (из основной теоремы). Проективное отображение l - l’, где l¹l’, есть перспективное отображение Û точка пересечения X=lÇl’ переходит в себя.

Глава 4. Применение основных теорем к решению задач на евклидовой плоскости.

4.1. Использование теоремы Дезарга на евклидовой плоскости.

В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем теорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовой плоскости. Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, то говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой.

Сформулируем теорему Дезарга, покажем использование на евклидовой плоскости.

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая.

Теорема Менелая гласит:

Если точки X,Y,Z лежащие на сторонах ВС,СА,АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1

Обратно, если это уравнение выполняется для точек X,Y,Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.

Теорема Дезарга.

Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три () пересечения коллинеарны.

Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности () прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’ перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в () R,Q,P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек.

íQ,C’,A’ý, íR,B’,C’ý, íP,A’,B’ý

Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом (AQ/CQ)*(CC’/OC’)*(OA’/AA’)=1 (CR/BR)*(BB’/OB’)*(OC’/CC’)=1

(BP/AP)*(AA’/OA’)*(OB’/BB’)=1

Перемножим эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1Þ что () Q,R,P коллинеарны, теорема доказана.

4.2. Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости.

Покажем использование предложения на евклидовой плоскости.

Теорема Паппа: Если А,С,В - три точки на одной прямой, а A’,C’,B’ - на другой, и если три прямые AB’,CA’,BC’ пересекают прямые A’B,C’A,B’C соответственно, то три точки пересечения P,Q,R коллинеарны.

рис. 1

Доказательство: Эта теорема как и теорема Дезарга использует принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок; в каждом множестве из трех коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. (рис. 1, рис. 2)

рис. 2

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Предположим, что три прямые AB’,CA’,BC’ образуют треугольник UVW.(рис. 3)

рис. 3

Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек

íP,A’,Bý, íA,Q,C’ý, íB’,C,Rý, íA,C,Вý, íB’,A’,C’ý,

лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем.

(VP/WP)*(WA’/UA’)*(UB/VB)=1 (VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1

(VB’/WB’)*(WC/UC)*(UR/VR)=1 VB'/WB')*(WA'/UA')*(UC'/VC')=1

(VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC’/VC’)=1

Разделив произведение первых трех соотношений на произведение последних двух, производя сокращение, мы получаем:

(VP/WP)*(WQ/UQ)*(UR/VR)=1

то есть P,Q,R коллинеарны, теорема доказана.

Приложение

№1. Если два треугольника перспективны относительно точки и две пары соответствующих сторон параллельны, то и две оставшиеся стороны параллельны.

Дано: треугольник PRQ и треугольник P’R’Q’ перспективны относительно точки О. QR||Q’R’, PR||P’R’

Доказать что: QP||Q’P’

Доказательство:

Так как QR||Q’R’ и RP||R’P’, то

(OQ/OQ’)=(OR/OR’)=(OP/OP’) Þ (OQ/OQ’)=(OP/OP’) ÞQP||Q’P’

№2.Назовите два треугольника перспективных относительно:

а) точки Р

б) точки Р’

в) точки D

Ответы: а) треугольники ROQ и EP’F б) треугольники EFP и R’Q’O’ в) треугольники R’RE и Q’QF.

№3. Если А,С,Е - три точки на одной прямой, B,D,F- на другой, и если прямые АВ и CD параллельны прямым DE и FA соответственно, то прямые EF||BC.