Теория колец (стр. 3 из 3)

II. Разложение на множители.

Пусть k некоторое поле, p, q, s - многочлены над k. Если p=q*s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым (над полем k ). В противном случае p неприводим. Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно, что каждый ненулевой многочлен p=

можно разложить в произведение: p= * , где все многочлены неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые; такие множители называются кратными. Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= .

Примеры.

1.

. Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные - простые.

2. Многочлен

неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если ( )=(x-a)*q, то подставляя в это равенство x=a, получаем: , что невозможно ни для какого рационального числа a. Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: , где = - кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен.

Свойства неприводимых многочленов.

1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q)

1, то p | q.

В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | q

p | q.

2. Если p |

и p неприводим, то либо p |

либо p |

. Действительно, в противном случае НОД(p,

) = НОД(p,

) =1 и потому по основной теореме теории делимости

; , откуда: и значит, , то есть НОД(p,

)=1 и, следовательно, deg (p )=0.

III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.

Пусть p =

некоторый многочлен над k и . Элемент поля k, равный , называется значением многочлена p в точке a и обозначается p(a). Соответствие является гомоморфизмом Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k[x] (x -a + ), а каждый идеал в k[x] - главный, то I =(x-a). Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p. Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней.

Если

| p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что и потому наличие у многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В частности, если p(a) = 0, но

, то корень a - простой (то есть не кратный).

Если

| p, но не делит p, то число n называется кратностью корня a . Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . Поскольку при a b НОД( , ) =1, многочлен p делится на и потому deg(p) . Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности.