Двойной интеграл в механике и геометрии (стр. 3 из 5)

Этот пример показывает, как важно с самого начала продумать порядок интегрирования.

Формулы (А) и (Б) сведения двойного интеграла к повторному справедливы и для случая областей более общего вида. Так, формула (А) применима к области, указанной на рис.9, а формула (Б) - к области, изображенной на рис.10. В случае области ещё более общего вида (Рис.11) двойной интеграл следует разбить на сумму интегралов по более простым областям, а затем каждый из них сводить отдельно к повторному, пользуясь формулами (А) и (Б).

Рассмотрим теперь несколько примеров, связанных с вычислением двойных интегралов.

Примеры. 1) Найдём двойной интеграл от функции

по прямоугольной области D

Геометрически I выражает объём четырёхугольной призмы

(рис.12), основанием которой служит прямоугольник D, усечённый плоскостью

.

Возьмём повторный интеграл сначала по y, затем по x:

То же самое получим, интегрируя сначала по x, а затем по y:

2) Вычислим двойной интеграл

по области D, ограниченной линиями y=x и y=x². Область D

изображена на рис.13. Интегрируя сначала по y, а потом по x,

получаем

Правильность результата можно проверить, изменив порядок интегрирования :

Вычислим объём тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями

и плоскостью z=0 (рис.14,а).

Поверхность, ограничивающая тело сверху, имеет уравнение z=4-y². Область интегрирования D получается в результате пересечения параболы

с линией пересечения цилиндра z=4-y²и плоскости z=0, т.е. с прямой y=2 (Рис. 14, б). Ввиду симметрии тела относительно плоскости Oyz вычисляем половину искомого объёма :

Следовательно,

куб.ед.

4) Вычислим объём V тела, ограниченного поверхностью

и плоскостью Oxy.

Заданное тело представляет собой сегмент эллиптического

параболоида, расположенный над плоскостью Оху (рис.15). Параболоид пересекается с плоскостью Оху по эллипсу

Следовательно, задача состоит в отыскании объема цилиндрического тела, имеющего своим основанием внутренность указанного эллипса и ограниченного параболоидом

В силу симметрии тела относительно плоскостей Oxz и Oyz можно вычислить объем четвертой его части, заключенной в первом координатном угле. Этот объем равен двойному интегралу, распространенному по области, заданной условиями

т. е. по четверти эллипса. Интегрируя сначала по у, затем по х, получим

Подстановка

даёт

откуда

3.Приложения двойных интегралов к задачам

механики.

а) Масса плоской пластинки переменной плотности.

Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плоскости Оху и занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько малой, что изменением плотности по толщине ее можно пренебречь.

Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке называется предел отношения массы площадки к ее площади при условии, что площадка стягивается к данной точке.

Определенная таким образом поверхностная плотность будет зависеть только от положения данной точки, т. е. являться функцией ее координат:

Если бы плотность была постоянной (

), то масса всей пластинки равнялась бы , где S - площадь пластинки. Найдем теперь массу неоднородной пластинки, считая, что ее плотность является заданной функцией . Для этого разобьем область, занимаемую пластинкой, на частичные области с площадями (рис. 16). Выбирая в каждой частичной области произвольную точку , будем считать, что плотность во всех точках частичной области постоянна и равна плотности в выбранной точке. Составим приближенное выражение для массы пластинки в виде интегральной суммы

(*)

Для точного выражения массы следует найти предел суммы (*) при условии

и каждая частичная область стягивается к точке. Тогда

б) Статические моменты и центр тяжести пластинки.

Перейдём теперь к вычислению статических моментов рассматриваемой пластинки относительно осей координат. Для этого сосредоточим в точках

массы соответствующих частичных областей и найдем статические моменты полученной системы материальных точек :

Переходя к пределу при обычных условиях и заменяя интегральные суммы интегралами, получим

Находим координаты центра тяжести :

Если пластинка однородна, т.е.

то формулы упрощаются :

где S - площадь пластинки.

в) Моменты инерции пластинки.

Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси.

Метод составления выражений для моментов инерции пластинки относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для вычисления статических моментов. Приведем поэтому только окончательные результаты, считая, что

:

Отметим еще, что интеграл

называется центробежным моментом инерции; он обозначается .

В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно начала координат будет равен

4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

а) Объём.

Как мы знаем, объем V тела, ограниченного поверхностью

, где - неотрицательная функция, плоскостью и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралу от функции по области D :