Дифференциальные уравнения I и II порядка (стр. 3 из 8)

Как было указано выше его особое решение дается уравнениями y=x+c и y=-x+c. Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений

.

Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое дифференциальное уравнение особых решений не имеет.

Пример 2. Рассмотрим решение уравнения

Его общее решение имеет вид

. Выписывая систему уравнений

или , (где p=y^/)

и исключая из нее переменную p, получаем уравнение дискретной кривой y=0 (ось Ox). Очевидно, она является решением дифференциального уравнения, так как из y=0=const следует y^/=0. Кроме того через любую точку M(x₀;0) этой кривой проходит частное решение дифференциального уравнения, получаемое из общего при c=-x₀. Не трудно убедиться, что касательные в точке M(x₀;0) дискретной кривой и частного решения совпадают. Таким образом, дискретная кривая y=0 является особым решением исходного дифференциального уравнения.

Ниже на рис. 3 изображено семейство интегральных кривых этого уравнения, являющееся семейством парабол.

Из рисунка видно, что дискретная кривая y=0, являющаяся осью Ox, касается в каждой точке некоторой кривой семейства.

Выше была рассмотрена ситуация, когда уравнение F(x,y,y^/)=0 не определяло y^/как неявную функцию переменных x и y, так как выполнялось условие

.

Предположим теперь, что в области D, где ищется решение дифференциального уравнения, выполняется условие

. В этом случае уравнение F(x,y,y^/)=0 определяет y^/как неявную функцию от x и y, т.е. можно считать y^/=f(x,y) или даже явно выразить y^/через x и y в виде y^/=f(x,y). Тогда особое решение будет связано с нарушением условий приведенной выше в параграфе 3, теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Таким невыполнимым условием, обычно, берется условие Липшица, и геометрическое место точек, в которых оно нарушается, задается условием

или, считая , условием .

Пример 3. Рассматривается дифференциальное уравнение

(сравните с примером 2). Здесь . Так как , то дискретная кривая отсутствует. Из и условия , находим, что в точках кривой y=0, являющейся осью Ox, нарушается условие теоремы Коши. Следовательно, эта кривая y=0 может быть особым решением. Остается проверить, что она удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и что в ее точках нарушается условие единственности прохождения интегральной кривой. Общее решение данного уравнения имеет вид , т.е. такой же, как и в примере 2. Разбирая пример 2, выполнимость обоих условий была проверена. Следовательно, решение y=0 действительно является особым.

Пример 4. Дано уравнение

.

Для него

, т.е. дискретной кривой нет. Из и условия , получаем точки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши.

Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет.

Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие семейства его интегральных кривых.

Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если в каждой точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с ней в этой точке общую касательную.

Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход.

Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).

Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а именно c=c(t).

Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

.

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка, из тождества вытекает

.

Покажем, что

. Действительно, k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x₀=x(t₀), y₀=y(t₀) при t=t₀равен

.

Уравнение Ф(x,y,c₀)=0, где c₀=c(t₀), задает интегральную кривую семейства, проходящую через точку M₀(x₀, y₀). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в точке M₀(x₀, y₀) равен

, где уравнение данной кривой. Рассматривая уравнение Ф(x,y,c₀)=0, как неявное задание уравнения интегральной кривой, значение найдем из соотношения , предполагая .

Из

получаем и

или

.

Таким образом, для произвольного значения t₀параметра t выполняется

.

Следовательно, из

с учетом доказанного соотношения получаем

.

Но так как

, ибо , то из последнего вытекает, что в точках огибающей должно выполняться условие .

Таким образом, для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений

.

Исключая из нее параметр c, найдем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей (исключая точки, где одновременно

и ). Окончательно убеждаясь в том, что поперечная кривая является огибающей, проверяя условие касания в каждой ее точке интегральной кривой семейства.

Пример 5. Снова рассмотрим уравнение из примера 2

. Его общее решение имеет вид , т.е. .

Для нахождения огибающей рассмотрим систему

.

Из нее получаем уравнение огибающей y=0. Далее убеждаемся, что y=0 действительно является огибающей, так как через каждую ее точку M(x₀;0) проходит интегральная кривая со значением параметра c=-x₀.

Пример 6. Рассмотрим дифференциальное уравнение

. Его общее решение имеет вид (x-c)²+y²=1 получаем . Подставляя и (x-c)²+y²=1 в левую часть уравнения, получим тождество .

Нетрудно видеть, что семейством интегральных кривых являются окружности единичного радиуса с центром в точках (c,0), лежащих на оси Ox.

На рис. 4 изображено семейство этих окружностей.