Методы решения уравнений, содержащих параметр (стр. 9 из 13)

.

Откуда

. Учтем два случая, так как , то .

. Тогда .

. При , а . Этот случай мы рассмотрели. Тогда рассмотрим случай . Откуда . Итак,

Ответ. Если

решений нет;

если

, ;

если

, .

Наибольшее и наименьшее значения

При решении задач весьма полезным оказывается следующее обстоятельство. Если в уравнении

, где , , а для всех , то можно перейти к равносильной системе уравнений (см. [5], [14], [19])

Пример. Решить уравнение

.

Решение. Произведем преобразование правой части.

. Тогда наше уравнение будет иметь вид .

Оценим левую и правую части уравнения

. Тогда заключаем, что обе части уравнения должны быть равны единице и это нас приводит к системе

Запишем равносильную систему

Выразим х из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение.

Решением последней системы будут

и .

Тогда Ответ. Если

, то

Если

, то .

Пример. Найти все действительные значения

, при которых область определения функции

совпадает с множеством всех действительных чисел.

Решение. Область определения будет все действительные числа, если функция будет определена, то есть задача состоит в нахождении значений параметра

.

Для этого необходимо решить систему

Учитывая условие

, решением последнего неравенства будет являться интервал .

Ответ. При

условие выполняется.

Монотонность

Прежде всего заметим, что в случае возрастания (убывания) функции

имеет место равносильность уравнений и (см. [5], [14]).

Пример. Решить уравнение

Решение. Так как функция монотонна и возрастает, а значение справа фиксировано, то данное уравнение имеет не более одного корня. Легко заметить, что

- корень.

Ответ.

.

Пример. Для

решить уравнение

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

.

Пусть

.

Тогда исходное уравнение становится таким

Рассмотрим функцию

. Функция возрастает на промежутке , так как , то . Следовательно, принадлежат промежутку монотонности функции . Отсюда имеем . Тогда , то есть . Сопоставим с исходным и получим .

Для

полученное квадратное уравнение имеет положительный дискриминант .

Ответ.

.

Замечание: другой способ решения будет рассмотрен ниже (в пункте 4.2.4).

Пример. Определить число корней уравнения

.

Решение. Имеем

.

Функция

возрастает на . Тогда . Исходное уравнение имеет не более одного корня. При он единственен.

Ответ. Если

, то уравнение имеет единственный корень;

если

, корней нет.

Четность. Периодичность. Обратимость

Пример. Указать все значения параметра

, для которых уравнение имеет решения (см. [5], [14]).

Решение. Пользуясь тем, что эта задача уже была решена, рассмотрим сразу систему

Рассмотрим функцию

при . Отметим, что эта функция обратима и обратной к ней является . Так как функция возрастающая, то общие точки лежат на прямой . Получаем . Решение которой нам известно.