Методы решения уравнений, содержащих параметр (стр. 8 из 13)
Ответ.
.Аппарат математического анализа (касательная к прямой)
Учащиеся, как правило, затрудняются с определением касательной к кривой (типичен ошибочный ответ: «Касательная – это прямая, имеющая с кривой одну общую точку»), не видят связь между касательной к графику и ее производной, не понимают смысла переменных в уравнении касательной, не могут применить соответствующие факты к решению задач, особенно геометрического характера. Пояснить учащимся суть вещей могут помочь, например, следующие задачи (см. [1], [5], [19], [21]).
Пример. При каком значении параметра k касательная к графику функции
образует с осью ОХ угол, равный 
, и отсекает от второй четверти треугольник, площадь которого равна 
?Решение. Пусть
– координаты точки касания. Уравнение касательной к графику функции 
в точке имеет вид 
.По условию имеем
, 
. Тогда 
. Уравнение касательной становится таким: 
. Найдем координаты точки пересечения касательной с осями.При
.При
.Тогда, с учетом второй четверти и
: 
Ответ.
Пример. Найти все значения параметра
, при которых на графике функции 
существует единственная точка с отрицательной абсциссой, касательная в которой параллельна прямой 
.Решение. Ясно, что угловой коэффициент касательной, о которой говорится в условии, равен 2. Тогда, если
– абсцисса точки касания, то 
, то есть 
.Остается потребовать, чтобы это уравнение имело единственный корень.
. При 
уравнение не имеет смысла, при 
уравнение равносильно: 
Введем замену
. Тогда 
. Для единственности корня необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю, 
. 
При таких значениях параметра
корнем уравнения является 
, который, как очевидно, принимает отрицательные значения.Ответ.
.Пример. Найти критические точки функции
.Решение. Напомним определение критической точки. Внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна 0 или не существует, называется критической.
Имеем
. Поскольку найденная производная существует во всех внутренних точках области определения функции , то критические точки следует искать среди корней уравнения 
, откуда 
. Осталось потребовать, чтобы 
.Ответ. Если
, то - критическая точка;если
- критических точек нет.Свойства функций в задачах, содержащих параметр. Функциональный подход
Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах функций, например, о ее множестве значений, непрерывности, экстремумах и так далее.
Многие школьники лишь формально усваивают понятие производной, не понимают ее геометрического смысла. Есть проблемы и при изучении понятий первообразной и интеграла. Задачи, которые приведены ниже, призваны пояснить школьнику смысл всех этих понятий и показать возможности их применения (см. [14]).
Предложенные задачи классифицированы в зависимости от того, какое свойство функции является основным в решении.
Иногда задачи не содержат прямой подсказки использовать область значения функции. Такая необходимость возникает в ходе решения. [5], [14]
Пример. Решить уравнение
.Решение. Так как
, то пусть 
. Получаем 
. Очевидно, при 
решение имеется. Найдем корни 
, так как 
, то рассмотрим три случая: 
, тогда 
, 
, 
Ответ. Если
, то 
;если
, то 
;если
, то 
.Пример. Решить уравнение
.Решение. Рассмотрим область допустимых значений
. Отсюда 
, 
. Тогда получаем равносильное уравнение