Методы решения уравнений, содержащих параметр (стр. 7 из 13)

Представим уравнение системы в виде квадратного уравнения относительно числа 5.

Откуда, учитывая

, получаем

Ответ.

.

Методы поиска необходимых условий. Использование симметрии аналитических выражений

В тех случаях, когда непосредственный поиск значений переменной затруднен, можно сначала выделить необходимые условия, а затем от необходимых условий перейти к достаточным условиям.

Будем называть задачи, решаемые таким методом, задачами с поиском необходимых условий.

Необходимые условия задач этого пункта:

В каждой задаче обязательно фигурирует аналитическое выражение, геометрический образ которого имеет ось или плоскость симметрии.

Во всех задачах в той или иной форме присутствует требование единственности решения.

Если описываемые задачи имеют решением координаты точки М, то найдется симметричная точка М1, координаты которой тоже являются решением, тогда точка М должна лежать (в силу единственности решения) на оси симметрии, но заметим, что это требование не является достаточным.

Высказанные соображения и составляют основу одного из метода поиска необходимых условий, о котором будет идти речь в следующих задачах (см. [1], [5], [12]).

Пример. При каких

уравнение имеет одно решение.

Решение. При замене

на (и наоборот) уравнение не меняет смысла, поэтому если точка с координатами – решение то и – решение. А так как в условии необходимо единственность решения, то .

Тогда

. Так как , то , что возможно только для случая равенства и при . Тогда получаем . Откуда находим два корня уравнения, а в силу единственности, дискриминант приравниваем к нулю и получаем .

Ответ. При

уравнение имеет одно решение.

«Каркас» квадратичной функции. Дискриминант, старший коэффициент.

Фактически все важные свойства квадратичной функции определяются таблицей. Где

– конструируют «каркас», на котором строится теория квадратичной функции (см. [1], [2], [5], [7], [8], [18], [21], [22])

Пример. При каких значениях параметра

все пары чисел , удовлетворяющие неравенству , одновременно удовлетворяют и ?

Решение. Часто бывает удобно начать решение задачи с рассмотрения упрощенной модели. Так, в конкретном случае уместно поставить задачу: при каком соотношении

и все решения неравенства одновременно являются решениями неравенства . Ответом на этот вопрос очевиден: .

Тогда в этом примере нужно, чтобы

при всех .

.

Найдем дискриминант,

. Дискриминант меньший либо равный нулю определит искомый параметр.

, что равносильно системе

Ответ.

«Каркас» квадратичной функции. Вершина параболы

Пример. При каких значениях

наибольшее значение трехчлена меньше 4.

Решение.

Так как графиком трехчлена является парабола, то необходимость наибольшего значения меньшего 4 обязывает параметр

.

Наибольшее значение будет в вершине параболы.

. Ограничение тоже обязательно. Решением этого неравенства есть . Учитывая необходимость , то .

так как

, то решением будет объединение . Тогда Ответ. .

Корни квадратичной функции. Теорема Виета

Рассмотрим квадратное уравнение

. Найдем корни этого уравнения . По теореме Виета выполняется следующая система уравнений , где и . Рассмотрим задачу, решение которой при использовании теоремы Виета намного упрощается.

Пример. При каком значении параметра

сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

Решение. Найдем дискриминант,

. Уравнение имеет два корня при любом . Используя теорему Виета, найдем . Таким образом, найдем наименьшее значение функции на множестве . Поскольку при , а при , то наименьшее значение при .