Методы решения уравнений, содержащих параметр (стр. 5 из 13)

, х + 1 = (3 – х) log a b , .

Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 или

, уравнение не имеет решений;

при а = b = 1, х

R;

при а = 1, b ≠ 1 х = 3;

при а ≠ 1, b = 1 х = -1;

при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1;

при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)

.

Логарифмические уравнения, содержащие параметр

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения (см. [1]).

Пример. Решить уравнение

2 – log

(1 + х) = 3 log а - log (х 2 – 1)2.

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log а а2 + log a(х2 - 1) = log а (

) 3 + log a ,

log а (а2 (х2 - 1)) = log а ((

) 3 ),

а2 (х2 - 1) = (х - 1)

,

а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1)

.

Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х - 1) и на

. Тогда получим = .

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а4 (х + 1) = х – 1

а4 х + а4 = х – 1 х( 1 - а4 ) = а4 + 1.

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то

.

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть

.

Выясним, при каких значениях параметра а, это неравенство истинно:

, .

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то есть при а < 1.

Итак, при 0 < a < 1 x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.

Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;

при а > 1 решений нет;

при 0 < a < 1

.

Замечание: Тригонометрические уравнения, содержащие параметр, не рассматриваем, то есть, не рассматриваем методы решения уравнений такого вида, так как существует большое количество специфических методов решения, именно, тригонометрических уравнений, содержащих параметр. Для этих методов существует большое количество материала, исследование которого может рассматриваться, как отдельная тема.

Основные методы решения уравнений, содержащих параметр

Аналитический метод

Поиск решений уравнений, содержащих параметр. Метод «ветвления»

В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой – он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолевать ученикам.

Именно этот факт и позволяет нам решать уравнения с параметром таким методом («ветвления») (см. [5], [6], [10], [13]).

Пример. Решить уравнение

.

Решение. Пусть

. Тогда

Переходим к равносильной системе

Очевидно, при

уравнение системы не имеет решения.

Если

, то тогда

Следовательно, нужно проверить условия

и . То есть

решая из системы первое неравенство, получаем что

.

Решением второго есть

. Решением системы будет пересечение интервалов, а, именно, .

Ответ. Если

, то ;

при остальных значениях параметра a уравнение решений не имеет.

Пример. Решить уравнение

.

Решение. Имеем

.

Достаточно рассмотреть три случая:

.

.

.

Делая замену

, получаем, что или . То есть или . Проверим, являются ли найденные значения переменной корнями. Подставляя значения переменной в уравнение, получаем, что не подходит, тогда корнями являются значения .

3.

Делая замену

, получаем или . Аналогично, как и при , проверкой устанавливаем, что только и не являются корнями. Тогда является корнем. Итак,

Ответ. При

, ;