Методы решения уравнений, содержащих параметр (стр. 10 из 13)
Ответ.
.Пример. Решить уравнение
.Решение. Рассмотрим функцию
и 
они взаимно обратные и возрастающие. Тогда 
равносильно исходному.Ответ.
.Пример. Для
решить уравнение 
.Решение. Очевидно
, то 
. Рассмотрим функцию 
. Она возрастает на 
. Следовательно, при эта функция обратима, причем функция 
является для нее обратной. Отсюда 
. Заметим, что мы использовали функцию, стоящую в правой части уравнения, потому что такой выбор не изменяет область определения первоначального уравнения. Решение же уравнения приведено было выше.Ответ.
.Графический метод. Координатная плоскость (x;y)
Задачи, содержащие параметр, требуют к себе своеобразный подход, здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, вести графические исследования, соответствующие данным значениям параметра.
Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера. Каждое такое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но, тем не менее, каждое из них должно быть решено. Легче всего это сделать с помощью графического представления зависимости переменной
от параметра 
.На плоскости
функция 
задает семейство кривых зависящих от параметра . Нас будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости можно переходить к другим кривым семейства (см. [1], [4], [5], [8], [9], [11], [16]). Пример. Для каждого значения параметра
определить число решений уравнения 
.Решение. Построим график функции
. 
Рассмотрим
. Это прямая параллельна оси ОХ.Ответ. Если
, то решений нет;если
, то 3 решения;если
, то 2 решения;если
, 4 решения. Сразу следует отметить, что выбор семейства кривых не отличается однообразием (в отличие от самих задач), а точнее он один: во всех задачах
- прямые. Более того, центр поворота принадлежит прямой.Пример. При каких значениях параметра
уравнение 
имеет единственное решение?Решение. Рассмотрим функцию
и 
. График второй функции – это полуокружность с центром в точке с координатами 
и радиусом =1 (рис. 2). 
, дуга АВ. 
Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекаются в одной точке, также в одной точке пересекаются ОВ и ОМ (касательная). Угловые коофициэнты ОА и ОВ равны соответственно 
. Угловой коэффициент касательной равен 
. Легко находится из системы 
Итак, прямые семейства
имеют с дугой только одну общую точку при 
.Ответ.
.Пример. При каких
уравнение 
имеет решение?Решение. Рассмотрим функцию
. Исследуя ее на монотонность узнаем, что она возрастает на промежутке 
и убывает на 
. Точка 
- является точкой максимума.Функция же
- это семейство прямых, проходящих через точку 
. Обратимся к рисунку 2. Графиком функции является дуга АВ. Прямые , которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи. Коэффициент наклона прямой ОА является число 
, а ОВ — 
.Ответ. При
уравнение имеет 1 решение;при остальных значениях параметра
решений нет. Пример. Найти все значения параметра
, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно 8 решений. 
Решение. Имеем 
. Рассмотрим функцию 
. Первая из них задает семейство полуокружностей с центром в точке с координатами , второе семейство прямых параллельных оси абсцисс.Число корней будет соответствовать числу 8 тогда, когда радиус полуокружности будет больше
и меньше 
, то есть 
. Заметим, что 
есть 
.