Сопряженная однородная задача (стр. 2 из 2)
Один из определителей:
матриц-блоков
должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что
. Далее, выберем такие 
и 
, чтобы строки матрицы А были линейно независимы.Например, положим
и 
.При этом матрица А примет вид:
(21).Из формулы (19) следует, что
.Тогда
(22)Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):
Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид: 
(22) 
(23)Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы
и чтобы каждая из компонент 
и 
являлась линейной комбинацией 
и 
. Как указывалось выше, тогда и только тогда, когда 
. При этом условия (21) и (20) принимают вид: 
(24)Разрешая равенства относительно
и 
при 
и заменяя 
на 
, получаем: 
(25)Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:
(26)Краевая задача при
самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство .Условие разрешимости.
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:
(27) 
,тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:
(27)Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь
и 
с вектором 
, описываемую формулой (14а) т.е.: 
(28)При этом соотношение (27) принимает вид:
Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.