Аппроксимация функций (стр. 1 из 2)

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

1) аналитический

2) графический

3) табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

φ(х)- аппроксимирующая функция.

Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x₀ f(x₀) требуется построить аппроксимирующюю функцию j(x) совпадающую в узлах с x_i c заданной, то такой способ называется интерполяцией

При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

j(x)=p_n(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты a_n,a_n-1, …a₀, так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

P_n(x_i)=y_i i=0,1,…n

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа L_n(x).

i¹j

В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .

Задание

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке x_c, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом Dх=4,1 начиная с точки х₀=1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.

ГСА для данного метода

CLS

DIM Y(9)

DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27

X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10

FOR I = 0 TO N - 1

1 X(I) = X0 + H * I

READ Y(I)

PRINT Y(I); X(I)

NEXT I

S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

FOR I = 0 TO N - 1

2 S1 = S1 + X(I) ^ 2

S2 = S2 + X(I)

S3 = S3 + X(I) * Y(I)

S4 = S4 + Y(I)

NEXT I

D = S1 * N - S2 ^ 2

D1 = S3 * N - S4 * S2

D0 = S1 * S4 - S3 * S2

A1 = D1 / D: A0 = D0 / D

YC = A1 * XC + A0

PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC="; YC

FOR X = 0 TO 50 STEP 10

Y = A1 * X + A0

PRINT X, Y

NEXT X

END

XC= 10

Х Y

1.3 -6.56

5.4 -3.77

9.5 -1.84

13.6 .1

17.7 2.29

21.8 4.31

25.9 5.86

30 8.82

34.1 11.33

38.2 11.27

S=-1.594203

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (x_i,y_i), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.

Графическая интерпретация аппроксимации.

Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий.

Обозначим через f_iзначение, вычисленное из функциональной зависимости для x=x_iи сопоставляемое с y_i.

Одно из условий согласования можно записать как

S =

(f_i-y_i)  min ,

т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x_i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.

Использование критерияS = |f_i-y_i|  min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.

Учитывая вышеизложенное, используют критерийнаименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой
S = (f_i-y_i)² , (1)

обращается в минимум.

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

f(x)=C₀+C₁X+C₂X²+...+C_MX^M. (2)

Формула (1) примет вид S =

( C₀+C₁X_i+C₂X_i²+...+C_MX_i^M - Y_i) ²

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С_0,С₁,...С_М :

S_C0 = 2 ( C₀+C₁

X_i+C₂
X_i²+...+C_M
X_i^M - Y_i) = 0 ,

S_C1 = 2 ( C₀+C₁

X_i+C₂
X_i²+...+C_M
X_i^M - y_i) X_i = 0 ,(3)

S_CM = 2 ( C₀+C₁

X_i+C₂
X_i²+...+C_M
X_i^M - Y_i) X_i^M = 0 ,

Тогда из (3) можно получитьсистему нормальных уравнений

C₀

(N+1) + C₁
X_i +C₂
X_i² +...+ C_M
X_i^M =
Y_i ,

C₀

X_i +C₁
X_i² +C₂
X_i³ +...+ C_M
X_i^M+1 =
Y_i X_i ,(4)

C₀

X_i^M +C₁
X_i^M+1 +C₂
X_i^M+2 +...+ C_M
X_i^2M =
Y_i X_i^M .

Для определения коэффициентов С_i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.

(N+1)	X_i	X_i²	...	X_i^M	Y_i
X_i	X_i²	X_i³	...	X_i^M+1	Y_i X_i
...	...	...	...	...	...
X_i^M	X_i^M+1	X_i^M+2	...	X_i^2M	Y_i X_i^M

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения.