Группы преобразований (стр. 1 из 2)

1.Перемещения

Пусть X - множество всех точек прямой

, плоскости или трехмерного пространства . Обозначим через d(P, Q) расстояние между точками P и Q множества X. Отображение f: X ® X f(P) = Pназывается перемещением, если для всех P и Q d(P, Q) = d(P, Q).

Примеры.

1. Пусть в

выбрана правая декартова прямоугольная система координат (x, y) с началом О. Поворот плоскости на угол j вокруг точки О задается формулами R = R. Здесь R = , R = . Очевидно, поворот является перемещением плоскости.

Отметим, что

(О) =О, то есть точка О остается неподвижной при повороте. Аналогично, в можно рассмотреть поворот на угол j вокруг оси, заданной единичным вектором vи точкой О. Легко проверить, что это перемещение задается формулой: R =Rcosj + (R´v)sinj +v(1-cosj)(R×v). Все точки оси поворота являются неподвижными.

2. Перемещением будет и параллельный перенос

на вектор v , Очевидно,

R = R +v . Неподвижных точек перенос не имеет.

3. Пусть l некоторая прямая в

. (Зеркальное) отражение относительно этой прямой является перемещением. Если в декартовой прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид y = tg(j/2) x , то отражение задается формулой : R = R . Аналогично, если p некоторая плоскость в , то отражение относительно этой плоскости будет перемещением. Если n единичный вектор нормали к плоскости p , проходящей через начало координат, то R = R - 2(R×n)n .

Переносы и отражения (примеры 2 и 3) можно рассматривать и в

.

4. Композиция U*V (последовательное выполнение ) двух перемещений U и V снова будет перемещением: (U*V)(P) = U(V(P)). Например,

= * = I- тождественное перемещение.

2. Связь с линейными операторами.

Теорема 1

Пусть f: X ® X - перемещение, A, B, C, D - точки X, f(A) = Aи т.д. Если AB = CD (как свободные векторы), то AB = CD.

Доказательство.

Достаточно проверить, что в условиях теоремы четырехугольник ABDC является параллелограммом. Пусть О точка пересечения диагоналей AD и BC.Принадлежность точки О отрезку АD равносильно равенству: d(A, O) + d(O, D) = d(A, D). Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное равенство d(A , O) + d(O, D) = d(A , D) , мы видим, что O лежит на отрезке ADи делит его пополам, поскольку d(A , O) = d(A ,O) = 1/2 d(A ,D) = 1/2 d(A , D) . Аналогично, O лежит на CD и делит его пополам. Следовательно, ABDC - параллелограмм.

Из теоремы 1 следует, что если

- пространство свободных векторов, то для всякого перемещения f: X ® X определено отображение: f*: V ® V.

Отметим, что если О - некоторая фиксированная точка X, то для любой точки P точка f(P) получается из Oпереносом на вектор f*(OP). Отсюда вытекает, что перемещение f однозначно определяется отображением f* и точкой O .

Теорема 2.

Отображение f* является линейным оператором в V и сохраняет скалярное произведение.

Доказательство.

Свойство f*(u + v) = f*(u) +f*(v) следует из определения сложения векторов : если u = AB , v = BC , то u + v = AC. Так как при перемещении любой треугольник ABC переходит в равный треугольник, то сохраняются не только длины, но и углы между векторами, а значит и скалярное произведение. Наконец, использую сохранение скалярного произведения, имеем:

= -2 + = - 2 + =0. Следовательно, f*(lv) = lf*(v) , то есть отображение f* линейно.

Следствие

Отображение

евклидова пространства V, обладающее свойством является линейным оператором и сохраняет скалярное произведение.

Как известно, оператор в конечномерном пространстве определяется своей матрицей. Матрица A оператора, сохраняющего скалярное произведение, называется ортогональной и имеет следующие свойства:

1. Матрица А невырождена, более того det(A) =

1. Операторы с определителем 1 сохраняют ориентацию пространства, а с определителем (-1) меняют ее на противоположную.

2. Все собственные значения A - комплексные числа по модулю равные 1.

Кроме того, известны простейшие формы ортогональных матриц в ортонормированном правом базисе. Эти простейшие формы указаны в следующей таблице:

dimV	det(A) = 1	Название	det(A) = -1	Название
1	I= (1)	Тождест-венный оператор	s = (-1)	Отраже-ние
2	=	Поворот на угол j	=	Отраже-ние
3	=	Поворот на угол j вокруг OZ	=	Зеркаль-ный пово-рот

Замечание 1.

Учитывая связь между перемещением f и оператором f*, можно утверждать, что в подходящей декартовой системе координат имеет место формула:

R = АR + v , где А - одна из матриц из таблицы, а v - некоторый вектор.Следовательно, всякое перемещение f имеет обратное

, которое задается формулой R = (R - v )= R- v. Поскольку матрица - ортогональна, обратное отображение также является перемещением.Отметим еще, что для всякой ортогональной матрицы P и любого вектора w преобразование R = PR + w является перемещением.

Замечание 2.

Имеется существенное различие между математическим понятием перемещения и физическим понятием движения. Во втором случае имеется в виду непрерывное во времени изменение положения точки, в то время как в первом фиксируются только ее начальное и конечное положения.

Перемещения с det(A) = 1 можно представлять себе и как движения, в то время как при det(A)= -1 такое представление невозможно, если оставаться в пределах исходного пространства X.

3. Классификация перемещений.

Напомним, что нам уже известны некоторые перемещения. Перемещениями прямой

являются тождественное преобразование I,перенос на вектор v и отражение относительно точки О .

Для случая плоскости

перемещениями будут уже упомянутые Iи , а также поворот вокруг точки О на угол j и отражение относительно прямой l . Определим дополнительно скользящее отражение как комбинацию отражения относительно прямой l с переносом на вектор v½½l .