Высшая математика (стр. 2 из 5)
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле:
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
или, короче,
Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
или, короче,
3,3
2 Теорема Абеля. Если степенной ряд
сходится для положительного значения х=х1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри 
.Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда
и 
при un, vn³ 0.Теорема. Если un£vn при любом n, то из сходимости ряда
следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов
и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех nsn<M, где М – некоторое число. Но т.к. un£vn, то Sn£sn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.Пример. Исследовать на сходимость ряд
Т.к.
, а гармонический ряд 
расходится, то расходится и ряд 
.Пример. Исследовать на сходимость ряд
Т.к.
, а ряд 
сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд 
тоже сходится.Также используется следующий признак сходимости:
Теорема. Если
и существует предел 
, где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. )
Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей
Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим дифференциал функции
и интегрируем его в пределах от 0 до х. 
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда
сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных 
сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно. 
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
Ряд Тейлора.
(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)
Функция f(z), аналитическая в круге
, разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0).Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
где
- многочлен степени m.Тогда частное решение ищется в виде:
Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
где число r показывает сколько раз число
является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Т.е. если уравнение имеет вид:
, то частное решение этого уравнения будет 
где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений 
и 
Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.
Если существует предел
, то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя. Пример. Определить сходимость ряда
. 
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда
