Абстрактная теория групп (стр. 4 из 6)

4. Если

- любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z . В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.

5. Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH.

Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).

Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть

.

Доказательство.

Очевидно, что для любой подгруппы H

.Но тогда

= = = .

Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс

. Поскольку , всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.

9 Гомоморфизм.

Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия изоморфизма.

Определение.

Отображение групп

называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть : .

Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.

Примеры.

1. Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.

2. Тривиальное отображение

является гомоморфизмом.

3. Если

- любая подгруппа, то отображение вложения будет инъективным гомоморфизмом.

4. Пусть

- нормальная подгруппа. Отображение группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку . Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным.

5. По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения

сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом.

6. Отображение

, которое каждому перемещению n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор (см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции .

Теорема (свойства гомоморфизма)

Пусть

- гомоморфизм групп, и - подгруппы. Тогда:

1.

, .

2.

- подгруппа.

3.

-подгруппа, причем нормальная, если таковой была .

Доказательство.

1.

и по признаку нейтрального элемента . Теперь имеем: .

2. Пусть p = a(h) , q = a(k) . Тогда

и . По признаку подгруппы получаем 2.

3. Пусть

то есть элементы p = a(h) , q = a(k) входят в . Тогда то есть . Пусть теперь подгруппа нормальна и - любой элемент. и потому .

Определение.

Нормальная подгруппа

называется ядром гомоморфизма .Образ этого гомоморфизма обозначается .

Теорема.

Гомоморфизм a инъективен тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Поскольку

, указанное условие необходимо. С другой стороны, если , то и если ядро тривиально, и отображение инъективно.

Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.

Теорема о гомоморфизме.

Любой гомоморфизм

можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу): .

Доказательство.

Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм j. Пусть

. Элементами факторгруппы являются смежные классы Hg . Все элементы имеют одинаковые образы при отображении a: . Поэтому формула определяет однозначное отображение . Проверим сохранение операции .Поскольку отображение j очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если , то и потому . Следовательно, и по предыдущей теореме j инъективно.