Абстрактная теория групп (стр. 3 из 6)
С) Для каждого
определим 
(сопряжение или трансформация элементом h ) формулой 
.Теорема С.
1. Каждое отображение
является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G).2. Множество
является группой преобразований множества G.3. Отображение
сюръективно и сохраняет операцию.Доказательство.
1. Поскольку
, отображение взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем: 
и потому сохраняет операцию.2. Надо проверить, что
и 
. Оба равенства проверяются без труда.3. Сюръективность отображения
имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.Замечание об инъективности отображения q.
В общем случае отображение q не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования
будут тождественными и группа 
тривиальна. Равенство 
означает, что 
или 
(1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество 
называется централизатором подгруппы 
. Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что 
. Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение q является изоморфизмом.7. Смежные классы; классы сопряженных элементов.
Пусть, как и выше,
некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита 
называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам 
.Заметим, что 
стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов , что hg=g 
. Поэтому, если группа H конечна, то вселевые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного 
.Орбиты группы
называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются 
Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно 
, где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.Пример.
Пусть
- группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: 
=(1,2,3); 
=(1,3,2); 
=(2,1,3); 
=(2,3,1); 
=(3,1,2); 
=(3,2,1). Пусть 
. Легко проверить, что левые смежные классы суть: 
, 
, 
.Правые смежные классы:
, 
, 
.Все эти классы состоят из 2 элементов.
Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:
, 
, 
, 
.В то же время,
, 
, 
.Теорема Лагранжа.
Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.
Доказательство.
По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов:
. Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, 
, откуда и вытекает теорема.Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы
.Следствие.
Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.
В самом деле, если
эти подгруппы, то 
их общая подгруппа и по теореме Лагранжа 
- общий делитель порядков H и K то есть 1.8. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.
Пусть
любая подгруппа и 
-любой элемент. Тогда 
также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения 
является изоморфизмом. Подгруппа 
называется сопряженной по отношению к подгруппе H.Определение.
Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой:
.Равенство
можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.Примеры.
1. В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.
2. В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа
и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.3. В рассмотренной выше группе
подгруппа не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы 
и 
.