Абстрактная теория групп (стр. 2 из 6)

4. Формула

определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством положительных чисел. При этом . Это означает, что является изоморфизмом.

Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.

5.Понятие подгруппы.

Непустое подмножество

называется подгруппой, если само является группой. Более подробно это означает, что , и .

Признак подгруппы.

Непустое подмножество

будет подгруппой тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь

- любой элемент. Возьмем в признаке подгруппы. Тогда получим . Теперь возьмем . Тогда получим .

Примеры подгрупп.

1. Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.

2.

- подгруппа четных подстановок.

3.

4.

и т.д.

5. Пусть G - любая группа и

- любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество всевозможных степеней этого элемента. Поскольку , рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g .

6. Пусть

любая подгруппа Рассмотрим множество - централизатор подгруппы H в группе G.Из определения вытекает, что если , то , то есть . Теперь ясно, что если , то и и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то . Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G).

Замечание об аддитивной форме записи группы.

Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g).Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.

6. Реализация абстрактной группы как группы преобразований.

Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.

Пусть

некоторая подгруппа.

А) Для каждого

определим отображение (левый сдвиг на элемент h) формулой .

Теорема 1

1.

2. Множество L(H,G)=

является группой преобразований множества G.

3. Соответствие:

является изоморфизмом групп H и L(H,G).

Доказательство.

1. Надо проверить, что отображение

взаимно однозначно для всякого . Если , то по закону сокращения. Значит инъективно. Если любой элемент, то и так что к тому же и сюръективно.

2. Обозначим через · операцию композиции в группе Sym(G) взаимно однозначных отображений

. Надо проверить, что и . Пусть любой элемент. Имеем: ; и значит, .

3. Пусть

. Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения: . Сохранение операции фактически уже было установлено выше: .

Следствие.

Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).

Для случая конечных групп получается теорема Кэли:

Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы

подстановок степени n.

B) Для каждого

определим отображение (правый сдвиг на элемент h) формулой .

Теорема B.

1.

.

2. Множество

является группой преобразований множества G.

3. Соответствие

является изоморфизмом групп H и R(H,G).

Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что

. Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не , а .