Оператор сдвига (стр. 7 из 8)

*l2={{xi}i

*N / С *R, ν *N: ≤С} (*)

Т.е. в l2 входят гиперкомплексные последовательности с гипернатуральной нумерацией, удовлетворяющие условию (*). Аналогично, в *l2(-

, ) будут последовательности с гиперцелой нумерацией, члены которых также *С, удовлетворяющие аналогичному (*) условию

*

- , )={{xi }/ С *R, ν : ≤С}.

Естественным образом в *l2 можно ввести норму:

, но в отличие от нормы в l2, в *l2 норма может принимать также и бесконечные значения.

Докажем, что для расширений стандартных последовательностей

.

Возьмем стандартную последовательность {xi}=x в пространстве l2 с нормой

и любое стандартное . Воспользуемся теоремой 1: . Из этого утверждения следует, что верно следующее утверждение: , т.е. для любого стандартного число является верхней границей для множества всех сумм вида (1).

Обозначим М

= (2)

Из предыдущего следует, что

. С другой стороны, так как М , то ]. Но , значит, для любого стандартного , следовательно, М , или , что и требовалось доказать.

3. Операторы сдвига в нестандартном расширении пространства последовательностей

В дальнейшем Н – гильбертово пространство,

– пространство всех линейных ограниченных операторов в Н.

Для линейных операторов в нестандартных пространствах можно ввести аналоги основных понятий теории операторов: ограниченности, нормы, спектра. При этом можно рассматривать различные пространства операторов: например,

– множество всех расширений операторов из пространства ; – множество всех линейных операторов , имеющих конечную норму, т. е. удовлетворяющих условию ; *(L(H)) – расширение пространства всех линейных ограниченных операторов в Н.

Мы будем рассматривать операторы из пространства *(L(H)). Для операторов из этого пространства можно ввести норму как расширение нормы на пространстве *(L(H)). Но в отличие от стандартной нормы она может быть также и бесконечна. Назовем оператор из *(L(H)) ограниченным, если его норма конечна

Определение 13. Спектром оператора А

*(L(H)) называется множество точек λ , для которых оператор А– λI не имеет ограниченного обратного в *(L(H)).

Теорема 12. Если существует элемент

с не бесконечно малой нормой, такой, что для некоторого λ , то число принадлежит спектру оператора А.

Доказательство. Предположим, что обратный оператор

существует. Обозначим . Тогда , а . Норма элемента равна 1, а норма элемента бесконечно большая. Отсюда следует, что оператор не ограничен.

Определение 14. Элемент

с не бесконечно малой нормой, такой, что для некоторого λ , называется почти собственным вектором оператора А, а число – точкой почти собственного спектра оператора А.

Рассмотрим оператор сдвига U в пространстве

, т. е. оператор, каждую последовательность вида переводящий в последовательность вида

Также будем рассматривать оператор двустороннего сдвига

, он каждую последовательность вида сдвигает вправо, т.е. переводит в последовательность .

Рассмотрим следующую задачу. В пространстве *

возьмем следующую последовательность: , где – бесконечно большой номер. Найдем норму этого элемента: . Если же качестве возьмем , то получим . Покажем, что данный элемент является почти собственным вектором оператора сдвига с почти собственным числом , т. е. . Действительно, = , следовательно, .