
Преобразуем теперь второе слагаемое в правой части, используя обобщенную теорему о среднем.
* Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме

Теорема 1 (обобщенная теорема о среднем). Пусть

причем

на

Тогда существует такая точка

что

Доказательство. Положим

(11)
Тогд, так как

то

и, следовательно,

Если

то

и в качестве

можн взять любую точку из

Если

то вытекает существование такого числа
с, удовлетворяющего неравенствам ( для этого делим все части

на

):

(12)
что

(13)
По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции в силу (11) , (12) найдется точка

, в которой

что вместе с равенством (13) доказывает теорему .
Теперь, так как

то по доказанной теоремою

где

- некоторая точка . Подставляя полученное в

, приходим к
формуле трапеций с остаточным членом :

(14)
Формула Симпсона . Предположим, что

Интеграл

приближенного заменяем площадью заштрихованной криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через точки

де

Указанная парабола задается уравнением

в чем нетрудно убедиться, положив поочередно

(ее можно также получить, построив интерполяционный многочлен второй степени и приводя подобные ) Отсюда находи ( проверить самостоятельно)

Таким образом , формула Симпсона , называемая также формулой парабол , имеет вид

(15)
Положим

где

-функция (4). Поскольку

то согласно формул Тейлора с остаточным членом в интегральной форме имеем

Отсюда получаем

(16)
т.к. остальные члены взаимно уничтожаются.
Поскольку

то применяя к интегралу (16) теорему 1 , а затем к полученному результату лемму, находим

(17)
где

нектрые точки.
Принимая во внимание, что

из (16), (17) приходим к формуле

(18) т.е. к
формуле Симпсона с остаточным членом. Рассмотрим квадратурные формулы прямоугольников (3), трапеций (7) и Симпсона (15) называются каноничными.
Усложненные квадратурные формулы.
На практике, если требуется вычислить приближенно интеграл (1) , обычно делят заданный отрезок

на

равных частей и на кождом частичном отрезке применяют какую-либо одну каноничную квадратурную формулу, а затем суммируют полученные результаты. Построенная таким путем квадратурная формула на отрезке

называется
усложненной. При применении формул прямугольников и трапеций длину частичных отрезков удобно применять за

, а при использовании формулы Симпсона - за

.
Остановимся сначала на применении формулы прямоугольников. Пусть

Обозначим частичные отрезки через

где

В соответствии с (3) полагаем

(19)
где

значение

в середине частичного отрезка

. При этом справедливо аналогичное (6) равенство

(20) где

некоторая точка.
Суммирование по всем частичным отрезкам приближенного равенства (19) приводит к усложненной квадратурной формуле прямоугольников:

(21)
а суммирование равенств (20) с учетом того,что по лемме

где

-некоторая точка отрезка

, дает усложненную формулу прямоугольников с остаточным членом:

(22)

Совершенно àíàëîãè÷íî при услвии, что

с использованием формул (7), (14) получается
усложненная квадратурная формула трапеций 
(23)
и отвечающая ей формула с остаточным членом

(24)
где
некоторая точка. Пусть теперь

и, как обычно,

Перепишем каноническую квадратурную формулу Симпсона (15) применительно к отрезку

длины

: