Численные методы (стр. 5 из 9)

Предположим теперь, что матрица А подобным преобразованиям

уже приведена к нормальной форме Фробениуса. Решая характеристическое уравнение

,

находим одним из известных методов его корни

которые являются собственными значениями матрицы Р и исходной матрицы А.

Теперь стоит задача отыскать собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, т.е. векторы

такие, что

Решим ее следующим образом: найдем собственные векторы матрицы Р , а затем по определенному соотношению я пересчитаем собственные векторы матрицы А . Это соотношение дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Пусть

є есть собственное значение , а есть соответствующий собственный вектор матрицы Р , которая подобна матрице А ,т.е.

Тогда

есть собственный вектор матрицы А , соответствующий собственному значению

Доказательство.Тривиально следует из того, что

Домножая левую и правую часть этого равенства слева на S,

имеем

А это и означает, что

-собственный вектор матрицы А ,

отвечающий собственному значению

Íàéäåì ñîáñòâåííûé вектор матрицы Р , которая имеет нормальную форму Фробениуса и подобна матрице А. Записывая

в развернутой форме, имеем

или

В этой системе одна из переменных может быть сделана свободной и ей может быть придано произвольное значение. В качестве таковой возьмем

и положим

Тогда последовательно находим

,

т.е. искомый собственный вектор матрицы Р имеет вид

.

Если процесс приведения матрицы А к форме Р был регулярным, то

 ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû А для собственного значения

будет вектор

Таким образом, задача вычисления собственных векторов матрицы А решена.

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .

Пусть имеется функция

которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.

Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена

Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.

Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах

Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать

Пусть функция задана в двух точках

и ее значения

Посстроим интерполяционный многочлен первой степени

Производная

равна

Производную функцию

в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена

(1)

Величина

называется первой разностной производной.

Пусть

задана в трех точках

Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид

Берем производную

В точке

она равна

Получаем приближенную формулу

(2)

Величина

называется центральной разностной производной.

Наконец, если взять вторую производную

получаем приближенную формулу.

(3)

Величина

называется второй разностной производной.

Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.

Предполагая функцию

достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3).

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть

произвольные точки, Тогда существует такая точка что

Доказательство. Очевидно неравенство

По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между

и Значит существует такая точка что выполняет указанное в лемме равенство.

Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.

Лемма 2.

1.Предположим, что

Тогда существует такая точка , что

(4)

2. Если

то существует такая точка , что