Элементы планиметрии (стр. 2 из 3)

Площадь выпуклого четырехугольника:

– диагонали,

– угол между ними.

2.4. Площадь выпуклого многоугольника с периметром

, описанного вокруг окружности радиуса

2.5.Формула Герона для вычисления площади треугольника:

, где

2.6.Длина отрезков, на которые делят стороны треугольника точки касания вписаной окружности:

2.7.Теорема Птолемея: во вписаном 4-х угольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

2.8.Площадь трапеции:

– основания,

– высота трапеции.

2.9.Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг многоугольника, нужно найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершинами которого служат три каких-либо вершины данного многоугольника.

3. Некоторые замечательные теоремы планиметрии.

3.1. Теорема Менелая.

Точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

3.2.Теорема Чевы.

Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

3.3.Теорема Пифагора.

3.4. Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

– радиус вписаной окружности

– радиус описаной окружности

– высота из вершины прямого угла

II. Задачи.

Опорные задачи.

Представленные ниже опорные задачи, являются упражнениями для закрепления материала, изложенного методических рекомендациях. Эти задачи необходимо прорешать, но высылать их решения не следует.

Найдите неизвестные стороны треугольника АВС, если дано:

а) а=4, в=6, g=30° б) а=4, в=6, b=60° в) а=5, a=30°, b=120°

Стороны параллелограмма а и в, угол между ними g. Найдите длины его диагоналей.

Вычислите длину медианы mа, проведенную из вершины А треугольника АВС, если а) АВ=с, АС=в, ÐА=a б) АВ=с, АС=в, ВС=а

Указание: Достройте треугольник до параллелограмма и используйте формулы, полученные в задаче 1.2.

Вокруг окружности описана равнобочная трапеция, средняя линия которой равна m. Найдите длины боковых сторон.

Диагонали параллелограмма равны

, угол при вершине – a. Найдите площадь.

Радиус описаной окружности треугольника равен R, углы при вершинах: a, b и g. Докажите, что площадь треугольника равна

Указание: Используйте при решении конструкцию на рис. 5 (соединив точку О с другими вершинами).

В остроугольном треугольнике АВС угол ÐА=60°, а сторона ВС=4 см. D и E – основания высот, опущенных из вершин В и С. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника АDE.

Площадь треугольника равна 6, а длины двух сторон 3 и 4. Найдите радиус описанной окружности.

Диагонали выпуклого 4-х угольника АВСD разрезали его на четыре треугольника:

(М – точка пересечения диагоналей). Найдите площадь четырехугольника.

Площадь треугольника равна 5, две стороны 3 и 4. Найдите площади треугольников, на которые он делится биссектрисой угла между данными сторонами.

Площадь трапеции равна 3, основания 1 и 2. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разделена диагоналями.

Около окружности радиуса 1 описана равнобочная трапеция с боковой стороной 3. Найдите площадь трапеции.

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 и острым углом 30°. Найдите площадь двух кругов, проходящих через вершину прямого угла с центрами в острых углах треугольника.

В полукруг радиуса 1 вписан квадрат так, что две вершины лежат на основании, а две другие – на дуге полуокружности. Найдите площадь квадрата.

Найдите отношение радиусов двух касающихся окружностей, если каждая из них касается сторон угла величины a.

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 2a. Найдите отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 5, а радиус вписанной окружности 2. Найдите гипотенузу.

Определите острый угол ромба, в котором сторона есть среднее геометрическое диагоналей.

Площадь ромба равна S, сумма его диагоналей – m. Найдите сторону ромба.

Одна биссектриса поделила первую сторону в отношении 3:1, а другая вторую в отношении 4:3. Может ли третья биссектриса поделить третью сторону в отношении:

а) 1:4, б) 5:3.

Найдите площадь треугольника АВС, если ВС=а, АМ=n, ÐАМВ=60°

(М – некоторая точка на отрезке ВС).

2. Задачи для самостоятельного решения

Представленные ниже задачи для самостоятельного решения, являются контрольным заданием заочной школы. Выбор задач для решения производится в соответствии с указаниями рядом с названием каждой темы. Правила оформления работ смотрите во вступительной статье.

Треугольник (решить любые две задачи).

М10.1.1 В треугольнике АВС сторона АС равна 26, а медианы, проведенные из вершин А и С, равны соответственно 36 и 15. Найти третью медиану.

М10.1.2 Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равно 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.

М10.1.3 Определить углы треугольника, в котором медиана, биссектриса и высота, выходящие из одной и той же вершины треугольника, делят соответствующий угол на 4 равные части.

М10.1.4 Найти угол А треугольника АВС, если заданы длины его сторон |АС|=b, |АВ|=с и длина l биссектрисы внутреннего угла А.

Треугольники и окружность (решить любые две задачи).

М10.1.5 Из точки А к окружности радиуса R проводится касательная, которая касается окружности в точке М. Секущая, проходящая через точку А, пересекает окружность в точках K и L, причем L – середина отрезка АК, угол АМК равен 60°. Найдите площадь треугольника АМК.

М10.1.6 Площадь прямоугольного треугольника равна Р, а площадь круга, вписанного в него, равна Q. Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника.

М10.1.7 Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанной окружности равен 2 см, а гипотенуза – 13 см.

М10.1.8 В треугольнике АВС АН и ВN – высоты, М – середина стороны АВ. АН=4, АВ=5, ВС=4. Найдите длну отрезка, который высекает на стороне ВС окружность, проходящую через точки Н, М и N.

Теорема Менелая (обязательно решить № М10.1.10, попробовать № М10.1.9).

М10.1.9 Вокруг 4-х угольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD – в точке К. (Точки В и D лежат на отрезках АМ и АК соответственно). Пусть Р – проекция точки М на прямую АК, L – проекция точки К на прямую АМ. Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.

Указание: Запишите теорему Менелая для треугольника АВD и прямой LР и попробуйте выразить отрезки АР, РD, А L и ВL через отрезки МР и К L и углы 4-х угольника АВСD.

М10.1.10 На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FE.

Четырехугольники (решить любые три задачи).

М10.1.11 В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD. Известно, что АD=2, ÐАВD=ÐАСD=90° и расстояние между точкой пересечения биссектрис треугольника АВD и точкой пересечения биссектрис треугольника АСD равно

. Найдите длину стороны ВС.

М10.1.12 В параллелограмме АВСD длина стороны АD равна 8. Биссектриса угла АDС пересекает прямую АВ в точке Е . В треугольник АDЕ вписана окружность с центром в точке О, касающаяся стороны АЕ в точке К и стороны АD в точке L. Найдите величину угла КОL, если длина КL равна 2.