Элементы дифференциального и интегрального исчисления в книге П. Я. Гамалеи "Вышняя теория морского искусства" (стр. 2 из 2)

В разделе "Начальные основания дифференциального исчисления" традиционно для этого периода (начиная с работ Лейбница) основным понятием выступает не производная, а дифференциал, который определяется как бесконечно малое изменение количества.

С помощью определения дифференциала и правила уничтожения бесконечно малых выводятся правила для отыскания дифференциала суммы, произведения, частного. Потом следует правило 4, которое указывает, как находить дифференциал степени. Напомним, что у Котельникова порядок иной: сначала излагаются правила отыскания дифференциала степенной функции, суммы и произведения, с помощью которых строится вывод дифференциала частного.

Для доказательства правила, кроме указанных выше приемов, используется формула бинома Ньютона для (x+dx)m. После чего приводятся 12 примеров отыскания дифференциалов от разных функций. Причем среди функций встречаются и сложные, например, x3(a+bx2)2/3 и т.п. Ни понятие сложной функции, ни, тем более, правило для отыскания дифференциала от сложной функции в общем случае не поясняется. А для конкретных примеров предполагается очевидным.

В главе "О дифференциалах логарифмических и неопределенно-степенных количеств" в основном из геометрических соображений выводится дифференциал натурального логарифма, разбирается много примеров. А в заключение приводится весьма удобное правило логарифмического дифференцирования.

Поясняя смысл понятия дифференциалов вышних чинов, автор предостерегает от ошибки смешения двух выражений: d2x и dx2, от которой и сегодня полезно было бы предупредить начинающих.

Автор знакомит читателя и с широкими применениями дифференциального исчисления к геометрии (касательные, подкасательные и поднормали параболы, эллипса, логарифмики, гипербол и т.п.) и отысканию наибольших и наименьших величин [2. С.42-128].

Раздел "Начальные основания интегрального вычисления" начинается с того, что в очередной раз уточняется смысл термина "интегральное исчисление", причем поясняется, что: "Нет ни единой окончаемой функции, которой бы нельзя было взять дифференциала; напротив того, находятся премногие дифференциальные функции, коих интегралов сыскать невозможно: иных потому, что они не полные дифференциалы и что ни от какой дифференциации произойти не могут; таковы суть ydx, xdy-ydx и пр. других по той причине, что они весьма сложны и что не найден еще способ их интегрировать" [2. С.129-130]. Таким образом в то время автор решил вопрос о существовании, который получил точное разъяснение лишь в XIX веке.

В примерах на вычисление интегралов Гамалея широко пользуется способом подстановки, знакомит со способами интегрирования биномиальных дифференциалов, тригонометрических выражений и т.п.

Приложения интегрального исчисления опять занимают значительную часть раздела. Здесь рассматриваются вопросы об отыскании площадей фигур, ограниченных разными кривыми: параболой, окружностью, циклоидой, логарифмикой, гиперболой и т.п. А также изучаются вопросы о вычислении длины дуги (кубической параболы, циклоиды, конической параболы и т.д.) и площади поверхности (шара, эллипсоида). Но самой любопытной представляется последняя глава, в которой описывается приложение интегрального вычисления к составлению меркаторских карт и к счислению пути корабля. Дифференциальное и интегральное исчисление автор использует для вывода формулы "возрастающей широты", которая получается при искажении изображения земного шара на плоскости карты. Свои результаты Гамалея приводит сначала из предположения, что земля есть земной шар, но затем уточняет все вычисления "в рассуждении истинной фигуры земли, которая есть сжатый на полях эллипсоид". Несмотря на то, что для вычисления используется весьма несложный аппарат интегрального исчисления (в основном интегралы типа.

и т.п.), важен сам факт иллюстрации применения высшей математики к морскому делу.

Книга является доказательством достаточно высокого научного уровня содержания математического образования в военно-учебных заведениях на рубеже XVIII и XIX веков, в том числе и высокого уровня математической подготовки самих преподавателей. По сравнению с другими учебными руководствами отечественных математиков на русском языке (С.К. Котельников; П.И. Гиларовский и др.) работа П.Я. Гамалеи отличается большим объемом, глубиной изложения и оригинальностью приложений. Нет также сомнения и в том, что Гамалея при написании работы использовал труды Эйлера.

Таким образом, если в научном (математическом) плане некоторые высказывания автора сегодня представляются слегка наивными (определения функции, бесконечно малой и бесконечно большой; решение вопроса о существовании интеграла и т.п.), то в методическом плане, бесспорно, данная книга представляет собой весьма ценный материал. Многие методические заметки автора и сегодня представляются интересными. Кроме того, с помощью этой книги читатель сможет определить круг вопросов, изучаемых молодыми людьми в военно-учебных заведениях конца XIX - начала XX века. А поскольку программ по отдельным предметам тогда не было, то учебные руководства, по сути, являются единственными источниками, по которым мы можем судить об объеме, содержании и методах изложения вопросов высшей математики в учебных заведениях конца XVIII - начала XIX вв.

Список литературы

Галушко Ю. А., Колесников А. А. Школа российского офицерства. Исторический справочник. М.: Информационно-издательское агентство "Русский мир", 1993. 222 с.

Гамалея П. Я. Вышняя теория морского искусства. СПб., 1801-1808. Часть вторая, содержащая основания вышних вычислений, с приложением оных к криволинейной геометрии и к навигации. СПб.: Типография Морского кадетского корпуса, 1802.

Гамалея П. Я. //Брокгауз Ф. А., Ефрон И. А. Энциклопедический словарь. СПб., 1892. Т.15, С.53

Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. М., 1968.