Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей (стр. 5 из 7)

Обозначим сумму квадратов отклонений через

. Тогда можно написать

будет равняться

выражать рекуррентно через

по формуле

Итак,

Мы видим, что в зависимости от нашей весовой функции

в разложении мы получим разные системы ортогональных полиномов.

§ 2. Обобщение Грамма - Шарлье.

Пусть по методу Пирсона найден вид кривой распределения вероятностей

на соответствующем интервале. Теперь, для представления в удобном для практического использования виде, запишем полученную кривую в несколько иной форме. Для этого используем обобщение Грамма – Шарлье, которое основывается на применении ортогональных полиномов Чебышева и состоит в том, что кривая распределения вероятностей представима в виде следующего разложения:

(4)

где

- есть к–ая производная функции

. Здесь полагаем, что

Таким образом, мы получаем кривую распределения вероятностей теперь уже в виде

Производные функции

мы можем представить в виде [3]

тогда можем записать

где функции

должны удовлетворять следующему свойству:

если

(5)

А коэффициенты

получаются из равенства (4) с помощью домножения на любой из ортогональных полиномов

и, интегрирования полученного равенства:

Отсюда следует, что

На практике в этом разложении мы используем только четыре первых члена, и коэффициенты перед ними есть:

Коэффициенты

имеют четкий статистический смысл, а именно: коэффициент

, выраженный через

, отвечает за асимметрию закона распределения, и коэффициент

выраженный через

- за эксцесс или дефект кривой распределения.

Свойство (5) есть свойство ортогональности полиномов, т. е.

по определению является системой ортогональных полиномов, которая получена по способу Чебышева в предыдущем параграфе [3], [5].

§ 3. Весовые функции и системы ортогональных полиномов.

В общей теории ортогональных полиномов известно, что система ортогональных полиномов называется классической, если она ортогональна относительно весовой функции, которая является решением дифференциального уравнения Пирсона [2], [6]. То есть, здесь прослеживается связь между теорией классических ортогональных полиномов и задачами математической статистики (нахождением закона распределения вероятностей).

Полиномы Чебышева - Эрмита.

Пусть многочлен (2) не имеет корней, тогда уравнение Пирсона (1) после переноса начала координат запишется в виде

тогда решение этого уравнения запишется в виде

(6).

Линейным преобразованием независимого переменного

эта функция приводится с точностью до постоянного множителя

к весовой функции многочленов Чебышева – Эрмита, которая имеет вид

Поскольку умножение весовой функции на постоянную практически не изменяет ортогональные многочлены, то в формуле (6), как и в аналогичных нижеследующих формулах, не нарушая общности, можно полагать

. В данном случае ортогональные многочлены с весом (6) выражаются через ортогональные многочлены Чебышева – Эрмита

по формуле

В этом случае условие ортогональности запишется в виде:

если

Полиномы Чебышева - Лагерра.

Пусть теперь многочлен (2) имеет один корень. Тогда уравнение (1) представимо в виде

Тогда его решение запишется в виде

Многочлены, ортогональные с таким весом, можно рассматривать как обобщение многочленов Чебышева – Лагерра, ортогональных с весом

Причем и здесь можно выразить эти многочлены через многочлены Чебышева – Лагерра

, а условие ортогональности будет:

если

Полиномы Якоби.

Предположим, что многочлен (2) имеет два различных действительных нуля. Тогда

, и уравнение Пирсона (1) представимо в виде

где

- некоторые постоянные и

. Тогда решение уравнения (1)

представимо в виде

и определяет некоторую систему ортогональных многочленов, которая линейным преобразованием независимого переменного и умножением на постоянную сводится к системе многочленов Якоби

. Так как весовая функция многочленов Якоби имеет вид