Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей (стр. 4 из 7)
т.е.
.Каковы в этом случае условия относительно
и 
при которых сумма 
имеет наименьшее значение?
Обозначим эту сумму через
: 
,и, подставляя в нее
,составляем обычным способом дифференцирования следующие уравнения:
Отсюда следует:
Так как
есть ортогональные полиномы по построению, следовательно все слагаемые вида 
будут равняться 0.В результате преобразований получим выражения для коэффициентов
: 
; 
;………………
;………………
.Теперь можно представить функцию
в таком виде
.Легко убедиться, что для перехода от найденного выражения интерполируемой функции к целой функции степени
, достаточно к левой части полученной функции приписать один новый член 
.Для дальнейшего перехода к целой функции степени
, также удовлетворяющей условию наименьшего значения суммы ,достаточно прибавить к найденному выражению функции степени
, такой новый член 
.Таким образом, решение задачи параболического интерполирования по способу наименьших квадратов приводится к нахождению ряда
Этот ряд, обладающий свойством давать посредством суммы своих
первых членов приближенное представление интерполируемой функции в виде целой функции степени , удовлетворяющей требованию наименьших квадратов, называется интерполяционным рядом Чебышева.Теперь для полного решения задачи остается еще узнать, что представляют собой функции
, определив через данные величины 
и 
коэффициенты при 
в выражении этих функций.Далее, с помощью разложения дроби
по нисходящим степеням
получим, что дробь 
,где
,дает приближенное представление функции [7]
с точностью до членов степени
включительно. Здесь
есть весовая функция, найденная ранее по методу Пирсона. Но эта дробь, у которой степень числителя на единицу меньше степени знаменателя, при разложении в непрерывную дробь всегда будет в своих неполных частных содержать переменную в первой степени. Следовательно, знаменатели ее подходящих дробей 
есть функции степеней 
; поэтому можно положить 
.Что касается
, то его можно приравнять 
.Разлагая
в непрерывную дробь вида
,где
и 
- некоторые постоянные, используем найденные выше свойства функции 
для определения этих постоянных через данные значения 
.Выражения для
будет иметь вид: 
.Выражения для коэффициентов
будут следующими: 
.Вводя для сокращения обозначение
через
, запишем выражение для в таком виде: 
.Для
выражение будет иметь вид 
.Что касается величин
и 
, то они равны соответственно 
и 
.Теперь перейдем к определению коэффициентов
в выражении 
.Для
получим выражение 
.Это выражение весьма упростится, если
мы будем считать отклонениями данных значений аргумента от его средней арифметической так, что 
. Тогда 
, а выражение для 
будет иметь вид 
.Также упростятся выражения для
и 
.Функция
станет равной , функции 
определяются путем последовательных подстановок выражений 
в формулы .При помощи этих формул можно вычислить какой угодно член ряда Чебышева
.Оценка результатов интерполирования производится при помощи среднего квадратического отклонения данных значений интерполируемой функции от вычисленных по найденному уравнению параболы.